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第 1 讲　导数的概念与运算

第 1 讲　导数的概念与运算. 1 ．函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数. 考点梳理. A. (2) 几何意义：函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 的几何意义是过曲线 y ＝ f ( x ) 上点 ___________ 的切线的斜率． 若 f ( x ) 对于区间 ( a ， b ) 内任一点都可导，则 f ( x ) 在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数．该函数称为 f ( x ) 的导函数，记作 f ′( x ) ．. ( x 0 ， f ( x 0 )).

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第 1 讲　导数的概念与运算

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Presentation Transcript

  1. 第1讲　导数的概念与运算

  2. 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 • 考点梳理 A

  3. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点___________的切线的斜率．(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点___________的切线的斜率． 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数．该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)． (x0，f(x0)) • 2．函数f(x)的导函数 • 3．基本初等函数的导数公式 0 αxα－1 cos_x

  4. －sin x axln a ex

  5. (1)[f(x)±g(x)]′＝____________； (2)[f(x)·g(x)]′＝_________________； • 4.导数的运算法则 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

  6. 　一个命题规律 本讲知识是高考中的常考内容，尤其是导数的几何意义及导数的四则运算，更是高考考查的重点．以填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问中．导数的运算及复合函数的导数一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算． • 【助学·微博】

  7. 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

  8. 解析f(1)＝0，f′(x)＝3x2－4x，f′(1)＝－1，所以切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.解析f(1)＝0，f′(x)＝3x2－4x，f′(1)＝－1，所以切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案x＋y－1＝0 • 考点自测 1．(2012·济南模拟)曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为________．

  9. 2．(2012·泰州市高三期末考试)设A为奇函数f(x)＝x3＋x＋a(a为常数)图象上一点，曲线f(x)在A处的切线平行于直线y＝4x，则A点的坐标为________．2．(2012·泰州市高三期末考试)设A为奇函数f(x)＝x3＋x＋a(a为常数)图象上一点，曲线f(x)在A处的切线平行于直线y＝4x，则A点的坐标为________． 答案(－1，－2)或(1,2)

  10. 3．已知函数y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

  11. 4．(2012·南京模拟)若直线y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切， 则实数k＝________.

  12. 【例1】 (2013·泉州月考)求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x； • 考向一　导数的运算

  13. [方法总结] (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒定变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

  14. 【训练1】 求下列函数的导数． (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

  15. (2)(2012·淮安市第四次调研)已知曲线y＝(a－3)x3＋ln x存在垂直于y轴切线，函数f(x)＝x3－ax2－3x＋1在[1,2]上单调递增，则a的取值范围是________． 解析(1)∵f′(x)＝ln x＋1，又f′(x0)＝2，∴ln x0＋1＝2. 解得x0＝e，y0＝e＋1.故f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－y－e＋1＝0. • 考向二　导数的几何意义及综合应用 【例2】 (1)设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0， y0)处的切线方程为________．

  16. 答案(1)2x－y－e＋1＝0(2)(－∞，0]

  17. [方法总结] (1)利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件： ①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标． ②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点． (2)与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．

  18. 【训练3】 (1)(2012·南通市第一学期调研)曲线c：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________．

  19. 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． [审题路线图] 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程． • 规范解答3　求在点P处的切线与过点P处的切线

  20. [点评] 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

  21. 解析y′＝3x2－1，k＝f′(1)＝2， 所以曲线在点(1,3)处的切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案2x－y＋1＝0 • 高考经典题组训练 1．(2012·广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________．

  22. 解析　函数f(x)展开式中含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，所以f′(0)＝a1·a2……a8＝212.解析　函数f(x)展开式中含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，所以f′(0)＝a1·a2……a8＝212. 答案212 2．(2010·江西卷改编)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.

  23. 答案2

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