Juliovy množiny

1. Juliovy množiny

2. Juliova množina pro dané komplexní číslo c • Pro každý bod komplexní roviny z počítám • z0 = z • Zn+1 = zn2 + c (stejný vzorec jako u Mandelbrotovy množiny) • Pokud posloupnost zn nejde do nekonečna, je bod z prvkem Juliovy množiny pro číslo c, • Tuto množinu značíme Jc

3. Pozorování • Juliova množina Jc vypadá v okolí bodu 0 podobně jako Mandelbrotova množina v okolí bodu c • Pro body c uvnitř Mandelbrotovy množiny je (0,0) prvkem Juliovy množiny Jc aJuliova množina Jc souvislá • Pro body c vně Mandelbrotovy množiny je Juliova množina Jc nesouvislá, popřípadě prázdná.

4. Pozorování Pro body c „hodně uvnitř“ Mandelbrotovy množiny je Juliova množina Jc nezajímavý souvislý útvar.

5. Pozorování Pro body c „hodně vně“ Mandelbrotovy množiny tvoří Juliovu množinu Jc několik izolovaných bodů

6. Pozorování „Nejzajímavější“ Juliovy množiny vzniknou z bodů, které leží poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, ať již zevnitř

8. Nebo zvenku

10. Program na vykreslení Mandelbrotovy množiny • Pascal + Assembler (zápis do video paměti)

11. Inicializace grafického režimu #13 procedure init13;assembler; asm mov ax, $0013 int $10 end; Přerušení 10 V registru ax číslo grafického režimu Režim 13: 320x200 pixelů, 256 barev

12. Vykreslení bodu procedure bod256 (x,y:word; barva:byte); assembler; asm mov ax,$a000 {a000 = adresa počátku videopaměti} mov es,ax {a000 = adresa počátku videopaměti do es} mov di,y {y-ová souřadnice pixelu do di} mov ax,di shl di,6 shl ax,8 add di,ax {y-ovou souřadnici násobím 320 (28+26} add di,x {přičtu x-ovu souřadnici} mov al,barva mov es:[di],al {Vložím kód barvy do videopaměti = vykreslení} end;

13. Funkce určující, zda bod patří do Mandelbrotovy množiny function Urci_Mandelbrotovost (X,Y: Real): Integer; {výsledek 0 je v M.m., nebo číslo iterace, kdy se zjistilo, že není} const LIMIT=250; {Maximální počet iterací} var Z_Real,Z_Imagin,Re,Im:Real; POCITADLO:Integer; begin Z_Real:=0; Z_Imagin:=0; POCITADLO:=1; {z0, počet iterací} while ((Z_Real*Z_Real+Z_Imagin*Z_Imagin)<=4) and {‚zn‘<=2} (POCITADLO<LIMIT) do begin {limit počtu iterací} Re:=Z_Real*Z_Real-Z_Imagin*Z_Imagin+X; {rekurzivní předpis} Im:=2*Z_Real*Z_Imagin+Y; Z_Real:=Re; Z_Imagin:=Im; POCITADLO:=POCITADLO+1; end; if POCITADLO=LIMIT then Urci_Mandelbrotovost:=0 {zdá se, že bod je v M.m.} else Urci_Mandelbrotovost:=POCITADLO; {není tam} end;

14. Zbytek programu program mandelbrotka; {$G+} uses crt; var RADEK,SLOUPEC: word; BARVA:byte; begin clrscr; {Vymazání obrazovky} init13; for RADEK:=1 to 200 do for SLOUPEC:= 1 to 300 do begin {Obrázek 200x300} BARVA:=Urci_Mandelbrotovost(SLOUPEC/100-2,RADEK/100-1); if BARVA > 0 then bod256 (SLOUPEC,RADEK,BARVA); {Pokud bod není v M.m., tak ho vykresli příslušnou barvou, jinak nech černý} end; Readkey; {čekej na zmáčknutí klávesy} end.

15. Zadání úkolu Upravte program pro vykreslení Mandelbrotovy množiny tak, aby vykresloval Juliovu množinu. Hodnota c může být napevno zadaná v programu. Pokuste se odhadnout hodnotu (hodnoty) c, pro které vyjde hezký obrázek. Program Mandelbrotka je ke stažení na http://kix.fsv.cvut.cz/~vanicek/vyuka_l10/mandelbrotka.pas