Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики

1. По-видимому невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. Гаральд Крамер Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики Докладчик Кулабухов С. Ю.

2. Основные правила комбинаторики Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбранn способами,то выбрать либо А, либо В можно m+n способами. Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбратьn способами,то пара объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать mn способами.

3. 1. Сочетания без повторений Определение 1.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов без учета их порядка называют числом сочетаний из n элементов по k. Определение 1.2. Сочетанием из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякое k-элементное подмножество этого множества. Определение 1.3. Числом сочетаний из n элементов по kназывается количество строго монотонных функций из k-элементного множества в n-элементное. Функция, действующая на упорядоченных множествах называется строго монотонной, если выполняется условие: Определение 1.4. Число размещений k неразличимых предметов по n ящикам, не более,чем по одному в ящик, то есть число способов выбрать из n ящиков k ящиков с предметами, называется числом сочетаний (без повторений).

4. 2. Размещения без повторений Определение 2.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k. Определение 2.2. Размещением из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякая последовательность длины k, составленная из неповторяющихся элементов этого множества. Определение 2.3. Числом размещений из n элементов по kназывается количество инъективных функций из k-элементного множества в n-элементное. Определение 2.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам, не более чем по одному в ящик, называется числом размещений (без повторений).

5. 3. Перестановки Определение 3.1. Число различных способов упорядочить nразличных элементовназывают числом перестановок n элементов. Определение 3.2. Перестановкой из n элементов n-элементного множества называется всякое размещение этого множества по n элементов. Определение 3.3. Числом перестановок из n элементов называется количество преобразований n-элементного множества. Преобразование – это биекция множества на себя. Определение 3.4. Аналогично определению 3.1.

6. 4. Размещения с повторениями Определение 4.1. Аналогично определению 4.2. Определение 4.2. Число всех последовательностей длины k, составленных из элементов n-элементного множества называется числом размещений (с повто-рениями) из n по k. Определение 4.3. Число всевозможных функций из k-элементного множествав n-элементное называется числом размещений (с повторениями) из n по k. Определение 4.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам называется числом размещений (с повторениями) из n по k.

7. 5. Сочетания с повторениями Определение 5.1. Пусть имеются предметы n видов и из них составляется набор, содержащий k элементов. Два таких набора считаются одинаковыми, если они имеют одинаковый состав. Такие наборы называются сочетаниями (с повторе-ниями) из n по k. Определение 5.2. Нет. Определение 5.3. Число монотонных функций из k-элементного множествав n-элементное называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k. Функция, заданная на упорядоченных множествах называется монотонной, если выполняется условие: Определение 5.4. Число всех возможных способов разместить kнеразличимых предметов по n ящикам называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k.

8. Задачи на классическое определение вероятности 1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Л, М, О, О, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОЛОТ? Ответ: 1/60. 2. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета. Ответ: 5/9. 3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины? Ответ: 18/35. 4. Найдите вероятность выиграть в лотерею 6 из 49, то есть вероятность угадать не менее 3 выигрышных билетов. (Ответ округлите до тысячных). Ответ: 0,019.

9. Задачи на классическое определение вероятности Решение задачи 4 -- количество всех способов выбрать 6 билетов из 49 -- количество всех способов выбрать 5 выигрышных билетов и 1 «проигрышный» -- количество всех способов выбрать 4 выигрышных билетов и 2 «проигрышных» -- количество всех способов выбрать 3 выигрышных билетов и 3 «проигрышных» Искомая вероятность: Ответ: 0,019.

10. Алгебра 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012 Вариант 8

11. Алгебра 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012 Вариант 8 продолжение Ответы

12. Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты Вариант 1

13. Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты Вариант 7

14. Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты Вариант 13

15. Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты Вариант 16