常微分方程课程简介

1. 常微分方程 常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

2. 学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖）， 王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。

3. 第一章绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念.

4. §1.1 微分方程模型 微分方程: 联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.

5. 例1 镭的衰变规律:

6. 解: 即镭元素的存量是指数规律衰减的.

7. 例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为试决定此物 体的温度和时间的关系. Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.

8. 解: 设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为由Newton冷却定律, 得到 其中为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型. 注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得与之间的关系式, 以后再介绍.

9. 例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.

10. 电路的Kirchhoff第二定律: 解: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为于是得到 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.

11. y R 设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： O x S 因体积守衡，又可得： r h 易见： 图3-3 故有： 例4一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？ 解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。

12. 即： 这是可分离变量的一阶微分方程，得

13. 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得：从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得： 从而得出两阶微分方程： （3.1） M P Q mg 图3-1 例5（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 （3.1）的近似方程 这是理想单摆应满足的运动方程 （3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：

14. （3.2） 其中 当 时,θ(t)=0 由此即可得出 （3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt 故有

15. 例6 传染病模型:长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.

16. 解: 根据题设,每个病人每天可使 由于病人总人数为 所以每天共有 于是病人增加率为

17. 思考与练习 1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形 的面积都等于常数 ,求该曲线所满足的微分方程. 解: 由题目条件有:

18. 2.求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.2.求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程. 由导数的几何意义, 应有 解: 设所求的曲线方程为 即 又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得 故所求的曲线方程为:

19. 习题: p16. 8, 9(2,4,6)