第 4.6 节 多元正态分布

1. 第4.6节 多元正态分布 一、密度函数与特征函数 二、独立性 三、线性变换 四、条件分布

2. 一、密度函数与特征函数 1. 多元正态分布密度函数的向量形式 则n元正态分布的密度函数的向量形式为：

3. 简记为 2. 多元正态分布密度函数的性质 第一个性质是显然的，以下给出第二个性质的证明。

4. 由于矩阵B是正定对称阵，因而存在非奇异矩阵L使得由于矩阵B是正定对称阵，因而存在非奇异矩阵L使得 类似于一元函数定积分中的换元法，设线性变换 则线性变换的逆变换为

5. 因此 由此可以得到性质2的结论.

6. 3. 多元正态分布函数的特征函数 由于 证明

7. 作线性变换 则 因而

9. 4. 多元正态分布的推广形式 在上述讨论中，假定了矩阵B是正定。对于矩阵B 是非负定时，令 则此矩阵为正定矩阵，相应的特征函数为

10. 令k,

11. 退化正态分布（奇异正态分布） 当协方差矩阵B的行列式detB=0时，正态分布N(a B)为退化正态分布

12. 证明：

13. 证明： 在定理4.6.2中，令子向量为一维向量时，则 由柯西－施瓦兹不等式可得其他各协方差存在。又因为

14. 二、独立性 主要讨论多维正态分布的独立性与不相关性的关系 证明： 必要性是显然的.

15. 即 因此

17. 证明： 必要性： 充分性：

18. 因此，由p233性质6可知，充分性成立.

19. 三、线性变换

20. 证明： 必要性：服从N(a,B),则其特征函数为 令t=ul, 其中u是任意实数，则

21. 充分性： 令u=1, 则 由于向量l的任意性，由特征函数的唯一性可知

22. 说明： 定理4.6.6的意义在于对于多维正态分布的研究可以 转化为利用一维正态分布相关性质加以研究. 证明： 对于任意m维实值列向量t

23. 定理4.6.7表明，服从正态分布随机向量在线性变换下仍然服从正态分布，这个性质简称为正态变量的线性变换不变性.定理4.6.7表明，服从正态分布随机向量在线性变换下仍然服从正态分布，这个性质简称为正态变量的线性变换不变性.

24. 证明： 对于实对称矩阵B，一定存在正交矩阵U,使得

25. 说明： 对于多维正态变量，可以进行正交变换，使其既保持正态性，又让个分量独立，此方法主要应用于数理统计中的相关证明.

26. 四、条件分布

27. 其条件方差为 证明： 为了简化运算，为此引入以下线性变化

28. 又因为

29. 同时由于线性变化为 由p157-158中关于随机向量变化的结论可知： 显然，|J|=1, 因而

30. 所以，条件密度函数为 经计算矩阵的乘积可知：

31. 所以，条件概率密度为正态分布，其数学期望与方差分别为：所以，条件概率密度为正态分布，其数学期望与方差分别为：

32. 作 业 习题四 p250 57、 58