§4.3 夫琅禾费衍射

1. 4 光波衍射与变换 §4.3 夫琅禾费衍射

2. 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 主要内容 1. 夫琅禾费衍射图样的观察 2. 单缝的夫琅禾费衍射 3. 矩形孔的夫琅禾费衍射 4. 圆孔的夫琅禾费衍射 5. 双缝与双孔的夫琅禾费衍射

3. 4.3.1 夫琅禾费衍射图样的观察 L L0 C l F0 P q P0 S f ' 图4.3-1 平面波照明下的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 (1) 平面波照射 衍射图样位置：无限远或透镜L的像方焦平面上

4. (2) 球面波照射 L L C C l l P0 P0 S S L s' s' s s 衍射屏在透镜后 衍射屏在透镜前 图4.3-2 球面波照明下的夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 4.3.1 夫琅禾费衍射图样的观察 4.3 夫琅禾费衍射 衍射图样位置：光源的共轭像平面上

5. (3) 细激光束照射 C P0 l L 图4.3-3 细激光束照明下的夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 4.3.1 夫琅禾费衍射图样的观察 4.3 夫琅禾费衍射 衍射图样位置：衍射屏后较远处的任一垂轴平面上

6. 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 L C l P q P0 f ' 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 (1) 衍射光场的形成机理 透过衍射屏的光场，可以看成是由被狭缝限制的波面上每一点发出的球面子波的叠加。由于每个球面子波均包含各种方向的光线，因此透射光场也可以看成是各种具有不同方向的平面波的叠加，并且每个方向的平面波均来自所有子波的贡献。同一方向平面波在无限远或透镜的像方焦平面上会聚于同一点，满足相长干涉条件时，该点为亮点；满足相消干涉时，该点为暗点。

7. (2) 衍射光场分布的定性分析——菲涅耳半波带法 L C l q P0 f ' 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 沿狭缝方向：波面不受限制，为自由波场，其强度分布反映了光源的几何像沿狭缝方向的分布特征——点光源照明时为一亮点，线光源照明时为一亮线。 垂直照射时的中心点P0（线）：总的叠加光振动复振幅来自所有子波中平行于光轴部分的贡献，并且各部分具有相同的相位延迟，故该点（线）处出现相长干涉，强度取极大值。

8. x0 x' L P B q q a l P0 C A DL f ' 图4.3-4 单缝的夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 垂直于狭缝方向的任意点P（线）： 假设：狭缝宽度为a，观察场点P与透镜光心连线的方位角为q——相应平面波分量的方位角。过狭缝边沿点B作该平面波的横截面BC，则狭缝上两边沿点A、B发出的子波在P点的光程差（空气中）： (4.3-1) 被狭缝限制的波面相对于P点可分割出的半波带数目： (4.3-2) 结论：N=2j+1，即asinq=(2j+1)l/2时（j=0, 1, 2, 3, ···），P点为强度极大值； N=2j，即asinq=jl时（j=1, 2, 3, ···），P点为强度极小值； N=0，即q=0时，P点为强度最大值。

9. (3) 衍射光场分布的定量分析——振幅矢量叠加法 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 假设： ① 被狭缝限制的波面相对于P点可分割为无数个宽度为dx0的等面积细波带 ② 同一细波带上各点在P点引起的光振动振幅和相位相同 ③ 单位宽度的波面具有的光振动振幅为A0/a ④ 位于狭缝中心点处的细波带在P点引起的光振动初相位为0 结果： 宽度为dx0的细波带在P点引起的光振动振幅： (4.3-3) 相邻细波带发出的子波在P点的相位差： (4.3-4)

10. 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 距离狭缝中心点为x0处的细波带在P点引起的光振动初相位和复振幅： (4.3-5) (4.3-6) 所有细波带在P点的叠加光振动复振幅及光强度： (4.3-7) (4.3-8) 式中：

11. x=tana x=a a0=0，sinq =0； a1=±1.43p， sinq =±1.43l/a≈±3l/2a； a2=±2.46p， sinq =±2.46l/a≈±5l/2a； a3=±3.47p， sinq =±3.47l/a≈±7l/2a。 0 归一化强度 -1.43p 1.43p 2.46p -2.46p -p a 0 p -3p -2p 2p 3p 图4.3-5 单缝夫琅禾费衍射图样的极大值点位置及归一化强度分布 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 讨论： ① 极大值与极小值条件 强度主极大值位置：a=0，或q=0；主极大值强度：I(P)=I(P0)=Imax 强度极小值位置：a=±jp，或 ，j=1, 2, 3,··· (4.3-9) 极小值强度：I(P)=0=Imin； 强度次极大值位置： 由 得： .

12. ② 条纹间距与宽度 Dx'0 Dq0 Dx'j 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 暗条纹的角位置（傍轴条件下，即q很小时）： (4.3-10) 暗条纹角间距（相邻两个暗纹中心对透镜光心的张角）——亮条纹角宽度 主极大值亮纹角宽度： (4.3-11a) 线宽度： (4.3-11b) 次极大值亮纹角宽度： (4.3-12a) 线宽度： (4.3-12b)

13. (a) 点光源照明 (b) 线光源照明 图4.3-7 计算机仿真的单缝的夫琅禾费衍射图样 图4.3-6 单缝的夫琅禾费衍射图样 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 结论：单缝夫琅禾费衍射图样的强度分布随衍射角度按函数关系sin2(a/a2)变化；相邻暗条纹中心的角（线）间距相等，因而所有次极大值亮纹的角（线）宽度相等，但主极大值亮纹的角（线）宽度为次极大值的两倍；相邻次极大值亮纹中心不等间距，但随着衍射级次的增大，相邻次极大值亮纹中心的间距趋于恒定；亮条纹的宽度（或相邻暗条纹中心的间距）与狭缝宽度成反比，与照射光的波长及透镜焦距成正比。采用白光照明时，除中央主极大值亮条纹为白色外，其余各级次亮条纹均为彩色条纹，且每级亮条纹均以蓝紫色开始，红色终止。

14. 图4.3-8 不同波长的单缝衍射图样强度分布 4 光波衍射与变换 4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 衍射的实质：逆反性——狭缝宽度越窄，表明照射光波受到得限制越强烈，因而衍射图样展开范围越大。

15. 4.3.3 矩形孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 矩形孔：两个正交迭置的狭缝（设宽度分别为a、b） 衍射光场：两个按正交方向展开的单缝衍射光场的乘积 假设： ① 被限制的波面相对P点可分为无穷多个面积为dx0dy0的相同面元 ② 同一面元上各点在P点引起的光振动振幅和相位相同 ③ 孔中心点处面元在P点引起的光振动初相位为0 ④ 单位面积的波面在P点引起的光振动振幅为A0/ab 面元dx0dy0在P点引起的光振动振幅： (4.3-13) 相邻面元发出的子波在P点的相位差： (4.3-14)

16. 4 光波衍射与变换 4.3.3 矩形孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 以矩形孔中心点为原点，则位于（x0, y0）处的面元在P点引起的光振动初相位和光振动复振幅分别为： (4.3-15) (4.3-16) 透过矩形孔的波面上的所有面元在P点引起的总的光振动复振幅及光强度： (4.3-17) (4.3-18) 式中： ， ， U(P0)=KA0。

17. 实验图样 仿真图样 图4.3-9 方孔的夫琅禾费衍射图样 4 光波衍射与变换 4.3.3 矩形孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射

18. 4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 (1) 定性分析 单缝→矩形孔→多边形孔→圆孔 (2) 定量分析 ①强度分布 假设：圆孔的半径为a，被衍射孔限制的波前单位面积在P点引起的光振动振幅为A0/pa2。 结果：衍射孔平面上（j, r）处ds面元上的子波在观察平面上P点的光振动复振幅： (4.3-19) 式中：ds=rdrdf，

19. 图4.3-10 圆孔夫琅禾费衍射的纵向强度分布 4 光波衍射与变换 4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 P点的总复振幅和总光强度： (4.3-20) (4.3-21) I(P0)：中心点的强度；J1(a‘)：第一类一阶贝塞尔函数；

20. ② 图样特征 [2J1(a')/a']2 1.0 0.5 -0.61 -1.12 0.61 1.62 -1.62 0 1.12 a'/2p 图4.3-12 圆孔的夫琅禾费衍射图样 图4.3-11 圆孔夫琅禾费衍射的相对强度分布 单色光 白光 4 光波衍射与变换 4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 中央极大值位置：a'=0，q=0 极小值位置： sinq1=0.610l /a sinq2=1.116l /a sinq3=1.619l /a 次极大值位置：sinq1'=0.819l /a sinq2'=1.333l /a sinq3'=1.84l /a

21. ③ 艾里斑及半角宽度 4 光波衍射与变换 4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 艾里斑：圆孔夫琅禾费衍射图样的中央亮纹 角半径： (4.3-22) 线半径： (4.3-23) 当采用图4.3-2(b)或图4.3-3光路观察时，艾里斑的线半径： (4.3-24) 结论：衍射反比性质：Δl1∝1/a，，f '（L）。 艾里斑与几何像点：l<<a/f '（l<<a/L）， Dl1→0 圆盘与圆孔衍射的异同点：中心亮点强度不同，其余相同。

22. 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 L Q L1 Pq q P0 S q f ' 图4.3-13 双缝（孔）的夫琅禾费衍射实验装置 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 (1) 衍射图样的形成机制 单色点光源S经透镜L1准直后垂直照射在一双缝（孔）屏Q上，透过双缝（孔）的衍射光波经透镜L会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。

23. (2) 衍射图样的强度分布 ( ) ( ) ( ) 4 光波衍射与变换 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 设狭缝宽度（圆孔半径）为a，两个狭缝（圆孔）的间距为d，根据单缝（圆孔）衍射和双光束干涉的特点可得出： ① 透过每个狭缝（圆孔）的光波，均在透镜L的像方焦平面上形成一组振幅分布相同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，其在Pq 点的振幅大小： (4.3-25a) 单缝 圆孔 (4.3-25b) ② 两个狭缝（圆孔）产生的衍射光波彼此相干，在透镜L2的像方焦平面上形成等强度的双光束干涉，叠加点的相位差： (4.3-26)

24. 4 光波衍射与变换 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 ③ 总的叠加光波复振幅： 双缝： (4.3-27a) 双孔： (4.3-27b) ④ 总的叠加光波强度分布： 双缝： (4.3-28a) 双孔： (4.3-28b)

25. 4 光波衍射与变换 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 (4.3-29a) 单缝衍射因子中央主极大值角宽度： (4.3-29b) 圆孔衍射因子中央主极大值角宽度： ，j=0, 1, 2, 3, ··· 缝间干涉因子极大值位置： (4.3-30) 缝间干涉因子极小值位置： ，j=0, 1, 2, 3, ··· (4.3-31) (4.3-32) 亮条纹的角宽度： 特点：由于a<d，在单缝（圆孔）衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极大值和极小值点。

26. d=5a d=10a a /p a /p 图4.3-14 双缝的夫琅禾费衍射图样强度分布（归一化） 图4.3-15 双缝的夫琅禾费衍射图样 单缝与双衍射图样比较（仿真） 4 光波衍射与变换 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射

27. 图4.3-16 双孔的夫琅禾费衍射图样 双孔的夫琅禾费衍射图样（仿真） 4 光波衍射与变换 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射

28. 4 光波衍射与变换 4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射 4.3 夫琅禾费衍射 结 论 双缝（孔）的夫琅禾费衍射实际上是单缝（圆孔）的夫琅禾费衍射与双光束干涉的综合效应。双缝衍射图样实际上是受单缝衍射因子调制的双光束干涉图样。双光束干涉的结果，使得单缝（圆孔）衍射图样的背景上叠加了一组等间隔余弦平方型干涉条纹。从杨氏双缝（孔）干涉角度来讲，由于单缝（圆孔）衍射因子的存在，干涉条纹并不等强度，而是随着衍射角的增大而逐渐减小。只有当缝宽（圆孔半径）远远小于波长时，单缝（圆孔）衍射的中央亮纹的角宽度趋于无限大，且强度趋于均匀，从而使得在此中央亮纹区域内的双缝干涉条纹的强度近似相等。这就是说，杨氏双缝（孔）干涉图样实际上是位于单缝（圆孔）衍射中央亮纹区域内的双缝（孔）衍射图样在缝宽（孔径）较小情况下的一种极限形式。

29. 本节重点 4.3 夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 1. 夫琅禾费衍射图样的实验观察光路 2. 单缝的夫琅禾费衍射图样的强度分布特点 3. 圆孔的夫琅禾费衍射图样的强度分布特点 4. 艾里斑的特点及与圆孔大小的关系 5. 双缝与单缝、双孔与单孔的夫琅禾费衍射的联系