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复变函数 第 2 讲

复变函数 第 2 讲. 很多平面图形能用复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来确定它所表示的平面图形. 例 3 将通过两点 z 1 = x 1 + iy 1 与 z 2 = x 2 + iy 2 的直线用复数形式的方程来表示 . [ 解 ] 通过点 ( x 1 , y 1 ) 与 ( x 2 , y 2 ) 的直线可用参数方程表示为. 因此 , 它的复数形式的参数方程为 z = z 1 + t ( z 2 - z 1 ). ( - < t <+).

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复变函数 第 2 讲

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  1. 复变函数第2讲

  2. 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.

  3. 例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 因此, 它的复数形式的参数方程为 z=z1+t(z2-z1). (-<t<+)

  4. 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1). (0t1) 取 , 得知线段 的中点为

  5. 例4 求下列方程所表示的曲线:

  6. [解] 设z=x+iy, 方程变为 y x O -i 为一圆

  7. 几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为y=-x, 也可用代数的方法求出 y y=-x 2i x -2 O

  8. 设z=x+iy, 那末 可得所求曲线的方程为y=-3. y x O y=-3

  9. 2. 复球面 N P O S y z x

  10. 除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极.对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.

  11. 关于的四则运算作如下规定:加法: a+=+a= (a)减法: a-=-a= (a)乘法: a=a= (a0)

  12. §3 复数的乘幂与方根

  13. 乘积与商 设有两个复数z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2),z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2) = r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2) +i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)] = r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1) Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)

  14. 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.

  15. 等式Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)的意思是等式的两边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.例如, 设z1=-1, z2=i, 则z1z2=-i, 则

  16. z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg z2 q2 z1z2 y z1 q1 q2 z2 x O 1

  17. 如果用指数形式表示复数: • 由此逐步可证, 如果

  18. 按照商的定义, 当z10时, 有 • 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.

  19. 如果用指数形式表示复数: • 定理二可简明地表示为

  20. 例1 已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i, 求它的另一个顶点.[解] 如图所示, 将表示z2-z1的向量绕z1旋转p/3(或-p/3)就得到另一个向量, 它的终点即为所求的顶点z3(或z3’). y z3 z2=2+i x z1=1 O z3’

  21. 根据复数乘法, 有

  22. 类似可得

  23. 2. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn • 则根据(1.3.4), 对任意正整数n, 我们有 • zn=rn(cos nq+isin nq). (1.3.7) 如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式). (cos q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.3.8)

  24. 设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, • 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点

  25. 在z已知时求方程wn=z的根w, 令z=r(cosq+isinq), w=r(cosj+isinj),则rn(cos nj+isin nj)=r(cosq+isinq)于是rn=r, cos nj=cosq, sin nj=sinq后两式成立的充要条件为nj=q+2kp, (k=0,1,2,).由此

  26. 其中, r1/n是算术根, 所以 当k=0,1,2,…,n-1时, 得到n个相异的根, 而当k以其它整数值代入时, 这些根又重复出现.

  27. 例2 求 [解]因为 所以

  28. 即

  29. 四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点. y w1 1+i w0 x O w2 w3

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