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与正多边形有关的问题

与正多边形有关的问题. 一、教学目标 1. 培养学生的实验、探究的能力； 2. 让学生获得研究正多边形问题的经验和方法； 3. 发展学生的个性和创新精神。. 二、教学重点 培养学生的观察 —— 实验 —— 发现 —— 归纳 — 验证等的研究性的学习思维品质。. 三、教学难点 将复杂问题简单化，将特殊问题一般化。. 四、教学过程 1. 回顾第一轮复习时有关正多边形的知识 （ 1 ）有关角 （ 2 ）有关边 （ 3 ）周长 （ 4 ）面积 （ 5 ）对称性 （ 6 ）特例 2. 新课讲授 今天我们将站在更高更深的角度去研究正多边形。.

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与正多边形有关的问题

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  1. 与正多边形有关的问题

  2. 一、教学目标 • 1.培养学生的实验、探究的能力； • 2.让学生获得研究正多边形问题的经验和方法； • 3.发展学生的个性和创新精神。

  3. 二、教学重点 • 培养学生的观察——实验——发现——归纳 • —验证等的研究性的学习思维品质。

  4. 三、教学难点 • 将复杂问题简单化，将特殊问题一般化。

  5. 四、教学过程 • 1.回顾第一轮复习时有关正多边形的知识 • （1）有关角 （2）有关边 （3）周长 • （4）面积 （5）对称性 （6）特例 • 2.新课讲授 • 今天我们将站在更高更深的角度去研究正多边形。

  6. 请看例题1： • 问题背景 本周二我们数学组的全体老师在业务学习研讨中，得到了如下两个命题： • ①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，若BM与CN相交于O，∠BON=60º则BM=CN； • ②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，若BM与CN相交于O，∠BON=90º则BM=CN。

  7. 然后运用类比的思想提出了如下命题： • ③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，若BM与CN相交于O，∠BON=108º，则BM=CN。 • 任务要求： • （1）请你从上述①，②，③三个命题中选择一个进行证明； • （2）请你继续完成下面的探索： • ①如图4，在正n（n>5）边形ABCD…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM，CE相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明） • ②如图5，在正五边形ABCDE中，当M、N分别是DE、AE上的点，且BM与CN相交所成的一个角为108º时，BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 • 我选。

  8. 小结： • 本题是典型的类比的思想题，我们要认真思考起始题和图，有关正多边形的问题，我们要根据要求认真思考正三角形的特点，然后过渡到四边形、五边形、……最后得出规律，并加以总结，或者运用它去解决问题。 建议： • 同学们课后去阅读07、08、09年的江西的最后一题。

  9. 例题2： • 两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。 • 实验与论证 • 设旋转角∠ ，所表示的角如图8.5-3所示。 • （1）用含 的式子表示角的度数： ， ， =； • （2）图1～图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

  10. 归纳与猜想 • 设正n边形 与正n边形 重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形 绕顶点A0逆时针旋转 • 。 • （3）设 与上述“ ”的意义一样，请直接写出 的度数； • （4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由。

  11. [解题思路] • 本题要把正多边形边数n分奇、偶两类来探讨，思考时应会将图形分解（如：图2可只看成，由△ 转至△ 的位置），或关注图形的对称性，结合正多边形的内角、中心角等概念，并发现其规律性获得结论。

  12. [解答过程] • （1） 。 • （2）存在，答案不唯一，选图1，图1中有直线A0H垂直平分 。 • 证明：∵△ 与△ 是全等的等边三角形， • ∴ ， • ∴ ，又 ， • ∴ • ∴ ，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上，又 ， • ∴点A0在线段 的垂直平分线上，所以直线A0H垂直平分 。

  13. （3）当n为奇数时， ；当n为偶数时， 。 • （4）存在，当n为奇数时，直线A0H垂直平分 。 • 当n为偶数时，直线A0H垂直平分 。

  14. [解后心得] • 本题是研究一个由特殊到一般结论的数学问题，先从既简单又特殊的特殊情形入手，将此获得的结论推广到一般，在研究的过程中应会发现图形的对称性，会将图形简化，会结合图形的其它性质，灵活运用分类、化归等数学思想方法解决问题。

  15. [变式训练] • [2010·北京]问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究DBC与∠ABC度数的比值。

  16. 请你完成下列探究过程： • 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 • （1）当∠BAC=90º时，依问题中的条件补全右图。 • 观察图形，AB与AC的数量关系为； • 当推出∠DAC=15º时，可进一步的度数为； • 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为。 • （2）当∠BAC≠90º时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

  17. 解：（1）相等，15º；1：3。 • （2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同。 • 证明：如图②，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K， • 连结DK. ∵∠BAC≠90º • ∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB， • ∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC. • ∵∠KCA=∠BAC， • ∴∠KCD=∠3. • ∵△KCD≌△BAD， • ∴∠2=∠4，KD=BD.

  18. ∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6. • ∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB， • ∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB. • ∴∠KBD=60º. • ∵∠ACB=∠6=60º-∠1. • ∵∠BAC=2∠ACB=120º-2∠1. • ∵∠1+（60º-∠1）+（120º-2∠1）+∠2=180º • ∴∠2=2∠1. ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3.

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