第 2 章运动定律与力学中的守恒定律

第2章运动定律与力学中的守恒定律 前　　言 §2-1 牛顿运动定律 *§2-2 非惯性系惯性力 §2-3 动量动量守恒定律 §2-4 功动能势能　机械能守恒定律　　 §2-5 角动量　角动量守恒定律 §2-6 刚体的定轴转动

前　　言 运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。力的作用既有瞬时效应，又有积累效应：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”的。但二十世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能出现“随机行为”。为什么？原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因素时，在一定条件下就可能导致混沌。

§2－1 牛顿运动定律 一、牛顿第一定律(惯性定律) 惯性参照系　在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表明，动力学规律并不是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。 1、惯性定律 “孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。 惯性定律：孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。

a1 a1  惯性和惯性运动 惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。 惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动 惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。２、惯性系和非惯性系　问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？地面观察者和车中观察者对于惯性定律的运用认知相同吗？

什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。 如何确定惯性系──只有通过力学实验 *１地球是一个近似程度很好的惯性系但 *2　太阳是一个精度很高的惯性系太阳对银河系中心的加速度为 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系── 　因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。 相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。 一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。

二、牛顿第二定律　惯性质量　引力质量 ※牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比。与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F的方向相同。在国际单位制中k=1。其数学形式为 1、关于力的概念１）力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，可使物体获得加速度。 2）物体之间的四种基本相互作用；力的概念只是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。一对质子在相距约10-15m时，各种作用的强度约为：强︰电磁︰弱︰万有引力≈1︰10-2︰10-14︰10-40

调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为一 3）力的叠加原理若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。 2、关于质量的概念 1）质量是物体惯性大小的量度； 2）引力质量与惯性质量的问题；惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。 3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系

三、牛顿第三定律 ※牛顿第三定律：两物体间发生相互作用时，作用力与反作用力在同一直线上，大小相等，方向相反，但作用在不同的物体上。 1）作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的力，不是一对平衡力。 2）力的作用是相互的，若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。作用力与反作用力同时产生，同时消失。 3）作用力与反作用力是同一性质的力。 • * ：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。

四、力学中几种常见的力：万有引力；弹力；摩擦力四、力学中几种常见的力：万有引力；弹力；摩擦力万有引力恒量在忽略地球自转时，质量为m的物体所受重力为式中Ｍe是地球的质量，Ｒ是地球的半径。万有引力:宇宙间任何两个质点之间存在的相互引力。 1. 万有引力定律只对质点模型成立。均匀球体（或有规则形状的物体），此时可把物体的质量看成集中于球心。 2. 物体在地表附近所受引力，通常称为重力。

弹性力: 两相互接触的物体，彼此产生形变，其内部产生企图恢复形变的作用力称为弹性力或张力。方向：垂直于接触点的切面。（也叫正压力）绳的张力也是弹性力如果m=0，或a=0, 则有 T1＝T2

摩擦力: 两物体相互接触，接触面之间所产生的阻止物体相对运动或相对运动趋势的力。分静摩擦力和滑动摩擦力。静摩擦力：只有相对运动趋势 f = - F f可以从0→fmax究竟f = ？要根据平衡条件决定。 s称静摩擦系数。静摩擦力的方向：总是与物体相对运动趋势方向相反。滑动摩擦力：两物体发生相对运动。同一接触面有

在直角坐标系 在自然坐标系五、牛顿定律的应用 1、牛顿定律只适用于惯性系 2、牛顿定律只适用于质点模型 3、具体应用时，要写成坐标分量式

若F=常量，则 若F=F(v) ，则若F=F(r) ，则４、要根据力函数的形式选用不同的方程形式 5、解题步骤　　　确定研究对象隔离物体分析受力　　　选取坐标将力分解列出方程并求解运用举例：

T1 T2 m2g m1g m1 m2 x 解得：例2-1：英国剑桥大学物理教师阿特伍德，善于设计机巧的演示实验，他为验证牛顿第二定律而设计的滑轮装置，称作“阿特伍德机”，该机是最早出现的验证牛顿定律的最好设备。在理论模型中，重物 m1和m2可视作质点，滑轮是理想的，即滑轮与绳的质量不计，轴承摩擦不计，绳不可伸长，求重物释放后物体加速度及物体对绳的拉力。(m1>m2)

牛顿第二定律的验证方法：事先测定m1和m2，通过实验测出物体下降或上升的距离以及通过这一段距离所用的时间，利用 　求出加速度，若计算结果与实验结果一致，则牛顿第二定律得到验证。其优点是加速度小，易于测准。如果将两物体换成两只质量相等但力气大小不同的猴子，它们从同一高度往上爬，则哪只猴子先到达滑轮？

y N x X方向： f F Y方向： mg o 解得：（1）（2）例2-2：某固定斜面，倾角为θ，静摩擦系数为μ0，质量为m的物体置于斜面上，现加一水平力F，问F为多大时，重物才刚好不下滑，此时重物对斜面的正压力为多少？

（1） （2）讨论： 1、由⑴式可见当分子时，即时F为正，表明当比较大时，一定要有外力F，否则，不能静止于斜面； 3、当时，F为负，表明此时没有外力F，重物也不会下滑，而且与mg无关，即只要满足，不论多重的物体放在斜面上也不会下滑而自然保持静止，这种情况称为自锁。当时，F=0，表明此时没有外力F重物恰可静止于斜面上， 2、 4、由⑵式可见，N并不等于mgcos ，更不等于mg，而　　与及有关，故正压力为被动力。

1)物体M对地的加速度 2)物体m对M的加速度 3)物体m与M间的弹力N 4)尖劈与桌面间的弹力R M M M M ※牛顿定律只适用于惯性系例2-3质量为M、倾角为θ的光滑尖劈，置于光滑的水平桌面上，质量为m的物体放在尖劈的斜面上，求：解：分别以m,Ｍ为对象， a/是m对M的加速度， aM是M对地的加速度所以m对地的加速度为

X: 对于m有 Y: X: 对于Ｍ有 Y: m,Ｍ的受力图如下所示由牛顿定律的坐标分量式方程可得

联立得

A B 对m1 对m2 对m3 例２－4图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1>m2 >m3绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地的加速度及绳中的张力。解：设m2对滑轮B的相对加速度为a/　，设向下为Ｘ轴正方向,a1为m1对地加速度，则可得

※已知运动情况求力 例2－5长 l 的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m 的小球。使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动。用牛顿定律求小球沿逆时针方向转过角时的角速度和绳中的张力解：取小球为研究对象；小球受重力mg，及绳子的张力T 取自然坐标系，将重力mg、张力T 沿、n方向分解. 列方程

解得将①式约去两边m，引入中间变量可得：对上式两边求积分有将 v = l代入②式

若令则有 ※已知力求运动例2-6在地球表面附近自由下落的物体，所受空气阻力与速率平方成正比，求其速度表示式。解：设向下为Ｘ轴正向，且由牛顿第二定律得

即讨论：

（1）湿摩擦是速度的显函数，即 干摩擦－固、固间的摩擦湿摩擦－固、流间的摩擦即阻力逐渐增大，加速度a最后趋于零，而速度趋于极值＊湿摩擦的概念：＊湿摩擦的几个特点：（2）湿摩擦没有静摩擦力（3）在流体中运动的物体，若受到一个恒力作用，其速度将趋于一个极限值。（４）沿某一方向滑动的物体，其侧向摩擦力具有湿摩擦的性质。

长度五、国际单位制和量纲 1、单位制：基本量、导出量单位制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。七个基本量为长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。 2、 SI制中三个基本量的操作型定义时间 1秒=133Cs原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9192 631 770个周期持续时间。质量　　铂铱合金制成直径为39mm的正圆柱体千克原器。

3、量纲： 通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。因为导出量是基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，在SI制中，用L，M，T分别代表长度，质量，时间三个基本量的量纲，其他物理量的量纲可用这三个字母的某种组合来表示。例如：在SI制中如 p,q,r均为 0，则称Q为量纲1的量

如粒子的运动学方程为 应为量纲1, 如 ⅱ可用于检验公式。如 4、量纲法则 a，只有量纲相等的量，才能彼此相等、相加、相减 b，指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的 5、量纲的意义 ⅰ可用于物理量单位的换算。 ⅲ量纲分析有助于建立物理定律。

§2-3 动量动量守恒定律 力的瞬时效应→加速度：牛顿定律力的积累效应── 一、质点的动量定理１、动量的引入早在牛顿定律建立之前，人们就在研究打击、碰撞一类现象的基础上提出了动量的概念。定义：物体的质量与速度的乘积称为该物体的动量。用表示。单位：kg·m/s

２）动量是矢量，方向与同 动量是相对量，与参照系的选择有关。冲量等于力乘以力所作用的时间，用表示。１）动量是物体运动量的量度。指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。２、冲量的概念１）恒力的冲量

在直系中： ２）变力的冲量此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。 3 ）合力的冲量合力的冲量等于各分力冲量的矢量和。

即故即 3、质点动量定理在牛顿力学中，物质的质量可视为常数其表示：物体所受外力的冲量等于物体的动量的增量

①冲量是元冲量 的矢量和，一般情况下，冲量的方向与外力方向不相同，也与动量的方向不同，而与动量的增量方向相同。在直角坐标系中的分量式注意事项： ②动量与惯性系的选取有关，而动量的增量与惯性系的选取无关。 ③动量定理的应用范围比牛顿第二定律更广泛。

平均冲力概念 f f t 0 t t+△t ４、动量定理的应用１）峰值冲力的估算奥地利两位教授经测定和研究发现：足球发点球时，球速能高达100公里/小时，如果守门员用胸部停球，那么胸部所受到的冲力高达150公斤，如果用双手接球，冲力可减小到50公斤。球拍接触网球的时间只有0.003秒，致使网球拍击球时的冲力可达50---100公斤。最好的球拍所能承受的接触时间只有2分钟左右，相当于击4万次球。

２）当动量的变化是常量时，有 A 延长碰撞时间从而减小冲力。例：车辆，船只为了减小碰撞时的冲力，可在接触处装上缓冲设备；跳高时，垫一层海绵被等。 B 利用短暂冲击以获取大的冲力例：利用冲床冲压钢板时，为了得到一个很大的冲力把钢板冲断，就把工件放在一个很大的砧座上，使冲头的速度很快减小到零从而增大冲力。３）当相互作用时间极短时，相互间冲力极大时，　　　某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。

解：取向上为正方向 当t=0.01s时，当t=0.002s时，例2-7：一质量为10g的小球，从h1=0.256m高处由静止自由下落到桌面上，反跳后的最大高度为h2=0.196m, 问小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量是多少？如果小球与桌面的接触时间为 (1)t=0.01s, (2)t=0.002s, 试求小球对桌面的平均冲力。则小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量是：而重力为0.098N

例２－8作用在质量为1kg 的物体上的力 F=6t+3,如果物体在这一力的作用下，沿直线运动，则在0 2.0s时间内，这个力作用在物体上的冲量I= 。

例2-9一火箭在均匀引力场中，以相对火箭恒定速率u喷射气体，由静止上升。假定排出气体质量的增率为dm/dt=m,其中m是火箭的瞬时质量，是常数，再假定使火箭减速的空气阻力是bV（b为常数），求火箭的终极速度。例2-9一火箭在均匀引力场中，以相对火箭恒定速率u喷射气体，由静止上升。假定排出气体质量的增率为dm/dt=m,其中m是火箭的瞬时质量，是常数，再假定使火箭减速的空气阻力是bV（b为常数），求火箭的终极速度。解：以t时刻火箭内的质量m和即将喷出的质量dm为一系统，以竖直向上为正方向，则 t时刻（t+dt）时刻运用动量定理在整理中略去高阶无穷小量 dmdv得

将代入 ，并整理，得显然，当　时有终极速度，即

i质点所受的内力 i质点所受合力二、质点系的动量定理 1、内力与外力 2、i质点动量定理

因为内力成对出现 3、质点系的动量定理（对i求和）这说明内力对系统的总动量无贡献，但对每个质点动量的增减是有影响的。

于是有 或质点系合外力的冲量 = 质点系动量的增量。

(1)守恒条件是 而不是三、动量守恒定律若系统所受的合外力系统总动量守恒一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。注意：动量守恒式是矢量式

表示系统与外界无动量交换， 表示系统与外界的动量交换为零。 (2)若若，但若某一方向的合外力零，则该方向上动量守恒；则系统无论沿哪个方向的动量都守恒； (3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中； (4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。

M M M L  例２－10 质量为Ｍ的木块在光滑的固定斜面上，由Ａ点从静止开始下滑，当经过路程Ｌ运动到Ｂ点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，立即陷入木块内，设子弹的质量为m，速度为v，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度　解：木块由Ａ至Ｂ过程，木块、地球系统机械能守恒，木块在B点的末速度以子弹，木块为一系统，沿斜面方向为Ｘ轴，则该方向上动量守恒。（图中f，f/为内力，支持力Ｎ在Ｘ方向中没有分力，重力在Ｘ方向中的分力可略去）

子弹击中瞬间，Ｘ方向有 为什么在水平方向动量不守恒？因为此时约束反力Ｎ在水平方向的分力不为零。

u u A B C M M M 例２－11 三只小船的质量（包括载重）均为M，以相同速率v0在一条直线上航行。如中船的人以相对速率u将质量为m的两个小包分别同时投向前后两只船，不计水对船的阻力，求投后各船的速率。解：解此题的关键是将质点系内各量统一到同一惯性系中。以小船前进方向为正方向，设B船投出小包后的速度为v2,则分别投向A、C两船的小包的对地速度为

A: B: C: 解得：分别以A、B、C船及小包为对象，由水平方向动量守恒，可得

例2－12一质量m1=50kg的人，站在质量m2=200kg长为L＝4m的船的船头上，开始时船静止。试求当人走到船尾时，船移动的距离。 水的阻力不计。解：设人对船的速度为，船对静止水的速度为。水平方向动量守恒方向与人前进的方向相反。

第 2 章 运动定律与力学中的守恒定律