9. 演算回路

1. ディジタル回路 9. 演算回路 五島 正裕

2. ディジタル回路 今日の内容 • 演算回路 • 加算器 • 半加算器・全加算器 • リプル・キャリー・アダー • キャリー・ルックアヘッド・アダー • シフト演算器

3. ディジタル回路 1-bit 加算器

4. ディジタル回路 二進数の加算 0 0 1 1 +) 0 +) 1 +) 0 +) 1 0 1 1 1 0 桁上げ carry 部分和 partial sum 1 1 1 ← 桁上げ 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 +) 0 1 +) 1 1 +) 0 1 +) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0

5. ディジタル回路 半加算器，全加算器 桁上げ carry 部分和 partialsum 半加算器 (half adder) 全加算器 (full adder)

6. ディジタル回路 全加算器 cout = xy+ ycin+ cinx s = x ^ y ^ cin x y x cout s y cin cin

7. ディジタル回路 n-bit 加算器

8. ディジタル回路 桁上げ伝搬加算器 (ripple carry adder) • 桁上げ伝搬加算器 (ripple carry adder) • n個の全加算器の cinと coutを順に接続 • 桁上げ(carry) が下位から伝播 • 伝搬遅延時間：O(n) xn-1 yn-1 x1 y1 x0 y0 c-1 = 0 FA FA FA x y x y x y cn-1 cout cin cout cin cout cin s cn-2 c1 s c0 s sn-1 s1 s0

9. ディジタル回路 加算器による減算 • 減算なら (sub= 1)，減数（y）を二の補数に： • yの各ビットを反転 • 1(= sub) と XOR • yに 1 を加える • c−1を 1(= sub) に xn-1 yn-1 x1 y1 x0 y0 sub c-1 FA FA FA x y x y x y cn-1 cout cin cout cin cout cin s cn-2 c1 s c0 s sn-1 s1 s0

10. ディジタル回路 桁上げ先見加算器 (carry lookahead adder) • 桁上げ先見加算器 (carry-lookahead adder) • 桁上げを先読み • 伝搬遅延時間： • O(log n) xn-1 yn-1 x1 y1 x0 y0 c-1 = 0 carry lookahead generator x y x y x y cin cin cin s cn-2 s c0 s sn-1 s1 s0

11. ディジタル回路 g と p ci= xi yi+ y ci-1+ ci−1 xi= xi yi+ (xi + yi) ci−1 ≡gi + pi ci−1 gi≡xiyi：（下位からのキャリーに関わらず）キャリーが生成 (generate) pi≡xi + yi：（下位からのキャリーが 1 のとき）キャリーが伝播 (propagate)

12. ディジタル回路 g と p（十進数の場合） ci= xi yi+ y ci-1+ ci−1 xi= xi yi+ (xi + yi) ci−1 ≡gi + pi ci−1 gi≡xiyi：（下位からのキャリーに関わらず）キャリーが生成 (generate) pi≡xi + yi：（下位からのキャリーが 1 のとき）キャリーが伝播 (propagate) 1 1 1 1 ? 1 1 ? 5 ? 1 ? 6 ? 9 ? +) 5 ? +) 8 ? +) 3 ? +) 9 ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? pi = 1 ： xiと yi は足して 9 gi = 1 ：xiと yiは足して 10 以上

13. ディジタル回路 g と p ci= xi yi+ y ci-1+ ci−1 xi= xi yi+ (xi + yi) ci−1 ≡gi + pi ci−1 gi≡xiyi：（下位からのキャリーに関わらず）キャリーが生成 (generate) pi≡xi + yi：（下位からのキャリーが 1 のとき）キャリーが伝播 (propagate) 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? +) 1 ? +) 1 ? +) 0 ? +) 1 ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? gi = 1 pi = 1 gi = pi = 1

14. ディジタル回路 gと p ci= xi yi+ y ci-1+ ci−1 xi= xi yi+ (xi^yi) ci−1 ≡gi + pici−1 gi≡xiyi：（下位からのキャリーに関わらず）キャリーが生成 (generate) pi≡xi^yi：（下位からのキャリーが 1 のとき）キャリーが伝播 (propagate) 1 1 1 ? 1 1 1 ? 0 ? 1 ? +) 1 ? +) 1 ? +) 0 ? ? ? 0 ? 0 ? pi = 1 ： xiと yi は足して 1 gi = 1 ：xiと yiは足して 2 以上

15. ディジタル回路 漸化式 ――g1:0と p1:0 ci=gi+pici−1 gi≡xiyipi≡xi ^ yi c0 = g0 + p0c−1 c1 = g1 + p1c0= g1 + p1(g0 + p0c−1) = g1+ p1g0 + p1p0c−1≡g1:0 + p1:0c−1 g1:0≡g1 + p1g0p1:0≡p1p0 y1 x0 y0 y0 x1 x1 x0 y1 g1 p1 g0 p0 g1:0 p1:0 c1 c-1

16. ディジタル回路 g1:0/p1:0は，四進数 1桁 の g/p 二進数 四進数 十六進数

17. ディジタル回路 g1:0/p1:0は，四進数 1桁 の g/p c1 = g1:0+ p1:0c-1 g1:0≡g1 + p1g0p1:0≡p1p0 gi≡ xiyipi≡ xi ^ yi • 1になるのは，x1:0と y1:0が： • g1:0 ： 足して 4 以上 • p1:0 ： 足して 3

18. ディジタル回路 g1:0/p1:0は，四進数 1桁 の g/p ? 1 1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 0 1 ? 0 0 ? 0 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? +) +) +) 1 +) 1 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? 2 2 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 3 3 +) +) +) +) +) ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? g1 = 1 p1g0 = 1 g1:0= 1 : 足して 4 以上 p1:0= 1 : 足して 3

19. ディジタル回路 2-bit 桁上げ先見器のツリー接続 y3 y3 y2 y2 y1 y1 y0 y0 x3 x3 x2 x2 x1 x1 x0 x0 g1:0= g1 + p1g0 p1:0 = p1p0 g3:2 = g3 + p3g2 p3:2 = p3p2 g3:0 = g3:2 + p3:2g1:0 p3:0 = p3:2p1:0 c3= g3:0 + p3:0c−1 g3 p3 g2 p2 g1 p1 g0 p0 g3:2 g1:0 p3:2 p1:0 g3:0 p3:0 c3 c-1

20. ディジタル回路 2-bit 桁上げ先見器のツリー接続 x7/y7 x6/y6 x5/y5 x4/y4 x3/y3 x2/y2 x1/y1 x0/y0 cin p0 c0 c1 p1 g/p7 g/p6 g/p5 g/p4 g/p3 g/p2 g/p1 g/p0 g/p7:6 g/p5:4 g/p3:2 g/p1:0 g/p7:4 g/p3:0 g/p7:0 c7 c3 c−1 c5 c1 c6 c4 c2 c0 p1 p1 g1:0 p1:0 p0 p0 g1 cout s7 s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 g0 g0 c-1 c-1 • : si= xi ^ yi ^ c−1=pi ^ c−1

21. ディジタル回路 2-bit 桁上げ先見器のツリー接続 p0 g/p7 g/p6 g/p5 g/p4 g/p3 g/p2 g/p1 g/p0 c0 c1 p1 c7 c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 c5 c1 g/p7:6 g/p5:4 g/p3:2 g/p1:0 c7 c3 c3 c−1 cin g/p7:4 g/p3:0 cout c7 p1 p1 g1:0 p1:0 p0 p0 g1 g0 g0 c-1 c-1

22. ディジタル回路 4-bit 桁上げ先見器 ci≡gi + pici−1 gi≡xiyi：（下位からのキャリーに関わらず）キャリーが生成 (generate) pi≡xi^yi：（下位からのキャリーが 1 のとき）キャリーが伝播 (propagate) c3 = g3 + p3 c2= g3 + p3 (g2 + p2c1) = g3 + p3 (g2 + p2 (g1 + p1c0)) = g3 + p3 (g2 + p2 (g1 + p1(g0 +p0 c−1))) = g3 + p3 g2 + p3 p2 g1 + p3 p2 p1 g0 + p3 p2 p1 p0 c−1 c2 = g2 + p2 g1 + p2 p1 g0 + p2 p1 p0 c−1 c1 = g1 + p1 g0 + p1 p0 c−1 c0 = g0 + p0 c−1

23. ディジタル回路 4-bit 桁上げ先見器 p0 p1 p2 p3 c3 c2 c0 c1 p3 p3 p3 p3 p2 p2 p2 g2 p2 p2 p2 g3 p1 p1 p1 p1 g1 p1 p1 g2 p0 p0 p0 p0 g3:0 p3:0 g1 g1 g0 g0 g0 g0 c-1 c-1 c-1 c-1

24. ディジタル回路 4-bit 桁上げ先見器のツリー接続 g/p27 g/p26 g/p25 g/p24 g/p19 g/p18 g/p17 g/p16 g/p31 g/p30 g/p29 g/p28 g/p23 g/p22 g/p21 g/p20 c27 c26 c25 c24 c19 c18 c17 c16 c31 c30 c29 c28 c23 c22 c21 c20 g/p31:28 c27 g/p27:24 c23 g/p23:20 c19 g/p19:16 c31 c15 g/p63L48 c47 g/p47:32 c31 g/p31:16 g/p15:0 c63 c−1

25. ディジタル回路 シフタ

26. ディジタル回路 シフト演算 • シフト演算の種類： • {論理，算術，ローテート}×{左，右} • 論理シフト (logical shift)： • 左 1桁： 10100 ⇒ 01000 • 右 1桁： 10100 ⇒ 01010 • 算術シフト (arithmetic shift)： 符号ビットを保存 • 左 1桁： 10100 ⇒ 11000 (-12 ⇒ -8，オーバフロー) • 右 1桁：10100 ⇒ 11010 (-12 ⇒ -6) • ローテート (rotate)： • 左 1桁： 10100 ⇒ 01001 • 右 1桁： 10100 ⇒ 01010

27. ディジタル回路 算術シフト演算 • n 進数，k桁のシフト： • n k倍（左），n-k倍（右） • 二進数，k桁のシフト： • 2 k倍（左），2-k倍（右） • 粒度が小さいので，使いやすい • （小さい整数）倍： 算術シフト ＆ 加算 • 3x = 2x + x • 5x = 4x + x • 7x = 8x-x

28. ディジタル回路 論理/算術 左シフト演算 • オーバフローする場合： • 論理シフト演算： 10100 ⇒ 01000 • 算術シフト演算： 10100 ⇒ 11000 (-12 ⇒ -8，オーバフロー) • オーバフローしない場合： • 論理シフト演算： 11010 ⇒ 10100 • 算術シフト演算：11010 ⇒ 10100(-6⇒ -12) • フラグの更新以外，論理と算術は区別する必要がない

29. ディジタル回路 バレル・シフタ（ローテータ） x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0 shamt0 shamt1 shamt2 z7 z6 z5 z4 z3 z2 z1 z0 8b バレル・ローテータ

30. ディジタル回路 まとめ

31. ディジタル回路 まとめ • 二の補数 • 正負の区別なく扱える • 「符号付き加算器」「符号なし加算器」はない • 加算器によって減算できる • 「減算器」はない

32. ディジタル回路 まとめ • 多ビット加算器 • リプル・キャリー・アダー：O(n) • キャリー・ルックアヘッド・アダー：O(log n) • シフト演算器 • O(log n)