§1 － 7 无穷小的比较

1. §1－7 无穷小的比较 一般, 无穷小量的商有下列几种情形.

2. 定义1.设lim(x)=0, lim(x)=0. 则称(x)是比(x)高阶的无穷小量, 记作, (x)=o((x)) 或称(x)是比(x)低阶的无穷小量, 则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.

3. 则称(x)和(x)是同阶无穷小量, 记作, (x)= O((x)) 则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.

4. 则称(x)和(x)是等价无穷小量, 记作, (x) ~ (x) 显然, 若(x) ~ (x), 则 (x)和(x)是同阶无穷小量, 但反之不对.

5. 比如, (i) (ii) (iii)

6. n 10 0.1 0.01 0.2 0.105 100 0.01 0.0001 0.02 0.01005 1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005 … … … … …

7. 定理1.设(x),  (x), (x),  (x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)是另一变量, 且,  (x) ~  (x), (x) ~  (x), 则 只须右端极限存在或为无穷大.

8. 证: (1) 因为(x) ~  (x), (x) ~  (x), 所以 类似可证(2), (3).

9. 例1. 由于当x0, tgx ~ x, 解: 从而tg2x ~ 2x. 当x0, sinx ~ x, 从而sin5x ~ 5x. 故,

10. 例2. 解: = 1

11. 例3. 解: = 0 或, = 0 ·1= 0

12. 例4. 解: = 1

13. 事实上, 若作代换, 有 显然, 这个结果是错误的.

14. 例5.当x0时, tgx – sinx是x的几阶无穷小量? 解:首先注意结论: 若当x0时, f (x) = O(x), g(x) = O(x), 则 f (x) · g(x) = O(x+), 其中, , 均大于0.

15. 由于 tgx –sinx = tgx(1– cosx) 因 tgx ~ x , 而 1– cosx = O(x2). 故 tgx – sinx = tgx(1– cosx ) = O(x3).

16. 当x0时, sinx ~ x, tgx ~ x, arctgx ~ x, arcsinx ~ x, ex–1 ~ x, ln(1+x) ~ x, 常用的等价无穷小.

17. 事实上, 当 y > 0时, y = elny. 从而, = 1

18. 注1.用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问题. 用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题. 用符号“ 0 ·”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题. 三种类型可以互化. 比如,

19. 注2.若当x0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ),  > >0. 则 f (x) g(x) = O(x),

20. m o t §1－8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 例. 火箭升空时, 质量变化情形如图. 一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线. m0 反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的. t0

21. y y o o x x y = (x) y = f (x) B f (x0) y y A y y y y x0 x0 x x x x x x0 x x0 从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. (x)在x0的极限不存在, 而

22. 定义1.设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且 则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点. 否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点. 由于当f (x)为多项式时, 有 所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.

23. 连续定义也可用 语言给出。 若对 >0, >0,使得当|xx0|<时, 对应的函数值f (x)满足| f (x)  f (x0) |< 则称f (x)在x0处连续. 注: 与极限定义比较, 将"a"换成"f (x0)" 将"0<|xx0|< "换成" |xx0|< ".

24. 例1. 证: 又因为f (0)=0.

25. f (x) = |x| y o x 如图 还可得到, |x|在任何点x0处连续. 称为x0的右邻域和x0的左邻域.

26. 设f (x)在x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义, 定义2. 则称f (x)在x0处右(左)连续.

27. 定理1.f (x)在x0处连续 f (x)在x0左连续且右连续.

28. 例2. 问a为何值时, f (x)在x=0连续. 解:f (0)=3 = 3 f (x)在 x = 0右连续. = a 为使f (x)在x=0连续, 必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0) 即, a=3. 故, a=3时, f (x)在x=0连续.

29. y y=f (x) 1 o x –1 问f (x)在x=0是否连续. 例3. 解:f (0)=1 =1 右连续.  f (0) = –1 不左连续. 故, f (x)在x=0间断. 图形为

30. 若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续. 记作 f (x)C(a, b). 其中 C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合. 若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续. 记作 f (x)C[a, b].

31. 一般, 设变量u从初值u0变到终值u1, 记u=u1u0, 称为变量u的增量(改变量). u可正, 可负, 还可为0. 另外,u1 = u0+ u

32. 设f (x)在U(x0)有定义, xU(x0), 记 x =xx0 称为自变量x在x0处增量(改变量). 且 x = x0 + x 记 y = f (x)  f (x0) = f (x0+ x)  f (x0) 称为y在x0处相应于x的增量(改变量).

33. (令x = xx0) 连续定义可用函数的增量的形式给出. 定义3.设y=f (x)在U(x0)有定义. 若当x = xx00时, 有y=f (x0+x)f (x0)0 则称f (x)在x0连续.

34. y o x 如图. y=(x) C y=CD的长 A y B=(x0) D x>0 x0 x0+ x

35. y o x y=f (x) y= –(MN的长) C y=CD的长 y M f (x0) D N x>0 x<0 x0+x x0 x0+x

36. §1-9 连续函数运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1.若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则 (1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2) f (x) ·g(x)在x0连续. (3) 当g(x0)0时,

37. 二、复合函数的连续性 定理2.设若y=f [(x)]由 y=f (u), u=(x)复合而成. 而y=f (u)在u0 u0=(x0), 若u=(x)在x0连续, 连续, 则复合函数y=f [(x)]在x0连续. 要证y=f [(x)]在x0连续, 只须证>0, >0, 当|x–x0|< 时, 有| f [(x)] –f [(x0)]|<. 即可. 证:

38. >0, 因y=f (u)在u0连续, 故 > 0, 当|u–u0|<, 有| f (u) – f (u0)|< . 又因u=(x)在x0连续. 从而对上述 > 0, >0, 当|x–x0|<时, 有|u–u0|= |(x) – (u0)|< . 进而有 | f [(x)] – f [(x0)]| = | f (u) –f (u0)|<  故y=f [(x)]在x0连续.

39. 将这个定理与定理1比较, 这里少了条件"Û (x0), 使得在Û (x0)内, (x)  u0" . 这是因为f (u)在u0连续.

40. 注意: 定理1中条件"… (x)  u0 "不能少. 如, 设 而u = (x) =1, x R. 则当xx0时, u = (x)1. 而当u 1时,y=f (u) 2. 即按P52. 定理2, 应有

41. 但

42. 式子 = f [(x0)]相当于 因此, 有 推论.若lim[(x)] =A. 且 y=f (u)在 u=A连续, 则 limf [(x)] = f [lim(x)]

43. 例4. 解:

44. 定理3.若y =f (x)在区间I上单调增加(减少)且连续, 则其反函数x=f –1(y)在相应区间上单调增加(减少) 且连续. 定理4.若y =f (x)在x0连续, 且f (x0)>0 (<0), 则U(x0), 使 x U(x0), 有 f (x)>0 (<0).

45. 三、初等函数的连续性 定理6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续. (2) 初等函数在其定义域内连续. 例5.

46. 例6.

47. 称形如y=[f (x)]g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)>0. 根据对数恒等式 y=elny, y >0, 有[f (x)]gx = eg(x) ·lnf (x), 因此, 当f (x), g(x)均连续时, [f (x)]g (x)也连续. 即, 则

48. 例7. 若 limf (x) = A > 0. limg(x) = B, 存在.

49. = 21 = 2 例8.

50. y 1 0 x 例9.