ЦОР по теме: «Треугольники»

1. ЦОР по теме:«Треугольники» Разработала: Маланко Е.Г. учитель математики МОУ «Гимназия № 1» I квалификационная категория

2. Треугольник В A,B,C – вершины АВ, ВС, АС – стороны ∆ АВС, ∆ ВСА, ∆ САВ САВ, АВС, ВСА – углы треугольника Р ∆ АВС = АВ+ВС+АС С А

3. B1 A1 C1 Две фигуры, в частности, два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением ∆ ABC= ∆ A1B1C1 B C A

4. B1 A1 C1 Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. B A C

5. Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано:∆ АВС и ∆ A1B1C1 АВ = A1B1, AC = A1С1,  А = A1 Доказать:∆ АВС = ∆ A1B1C1 С1 Доказательство: 1. Так как  А = A1, то ∆ АВС можно наложить на ∆ A1B1C1 так, что вершина А совместится с вершиной А1. B1 A1 C 2. Стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. 3. Так как АВ = A1B1, то сторона АВ совместится со стороной A1B1. 4. Так как АС = A1С1, то сторона АС совместится со стороной A1С1. 5. Следовательно, совместились точки В и В1, С и С1, а значит и стороны ВС и В1С1. 6. Итак, ∆ АВС и ∆ A1B1C1 совместились полностью, а значит они равны B A

6. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство B E Дано:∆ АВС и ∆ EDC AC = EC BC = DC Доказать: ∆ АВС = ∆ EDC C Доказательство: 1) BC = DC по условию 2) AC = EC по условию 3)  ВСА =  DCE как вертикальные A D ∆ АВС = ∆ EDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

7. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство E C Дано: ∆ EDС и ∆ KDC ED = KD  EDC = KDC Доказать: ∆ EDС = ∆ KDC S Доказательство: 1) ED = KDпо условию 2)  EDC = KDC по условию 3) CD - общая K D ∆ EDС = ∆ KDCпо двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

8. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Дано: ∆ EDС и ∆ CFE ED = CF  DEC = FCE Доказать: ∆ EDС = ∆ CFE C F S Доказательство: 1) ED = CF по условию 2)  DEC = FCE по условию 3) CE - общая D E ∆ EDС = ∆ CFEпо двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

9. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. В В любом треугольникемедианыпересекаются в одной точке С А

10. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. В В любом треугольникебиссектрисыпересекаются в одной точке С А

11. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В В любом треугольникевысоты или их продолженияпересекаются в одной точке С А

12. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В любом треугольникевысоты или их продолженияпересекаются в одной точке В С А

13. Равнобедренный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны Боковая сторона Боковая сторона Основание

14. Равносторонний треугольник Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

15. Свойство равнобедренного треугольника:В равнобедренном треугольнике углы при основании равны А 2. ∆ АВD = ∆ АСD по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, АD – общая, 1 = = 2 , т.к. АD – биссектриса) 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому В = С. Дано:∆ АВС - равнобедренный АВ = AC Доказать:В = С 1 2 S Доказательство: 1. Пусть АD – биссектриса ∆ АВС. В D С

16. Свойство равнобедренного треугольника:В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой А 1) Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и3 = 4. 2) Т.к. BD = DC, значит D – середина BC => АD – медиана 3) Т.к. 3 = 4, а они смежные, значит они прямые => AD - высота Дано:∆ АВС - равнобедренный BC – основание АD – биссектриса Доказать:1) АD – медиана 2) AD - высота 3 4 Доказательство: В D С

17. А Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. В D С

18. Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. С1 Дано:∆ АВС и ∆ A1B1C1 АВ = A1B1,  А = A1, В=  B1 Доказать:∆ АВС = ∆ A1B1C1 Доказательство: 1. Наложим ∆ АВС на ∆ A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1,сторона АВ – с A1B1, а вершины С и C1оказались по одну сторону от прямой A1B1. A1 B1 C 2. Т.к.  А = A1,то сторона АС наложится на луч A1C1. 3. Т.к. В=  B1, то сторона ВС наложится на луч B1C1. 4. Вершина С окажется лежащей как на луче A1С1, так и на луче В1С1=> совместится с вершиной С1. 5. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. 6. Итак, ∆ АВС и ∆ A1B1C1 совместились полностью, а значит они равны B A

19. Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. А1 (А) Дано:∆ АВС и ∆ A1B1C1 АВ = A1B1, ВС = В1С1, СА = С1А1, Доказать:∆ АВС = ∆ A1B1C1 Доказательство: 1 случай:луч СС1 проходит внутри A1C1B1. 1 2 С С1 3 4 B1 (В) 2. Т.к. ВС = В1С1, АС = А1С1по условию, то ∆ A1C1С и ∆ B1C1С - равнобедренные 3. Т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то 1 = 2, 3 = 4, поэтому  A1СВ1 =  A1C1В1 4. Итак, АС = А1С1, ВС = В1С1,  С =  C1= > ∆ АВС = ∆ A1B1C1 по первому признаку равенства треугольников.

20. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство N Дано:∆ MNP и ∆ RQP NP = QP MNP = RQP Доказать: ∆MNP = ∆RQP R P Доказательство: 1) NP = QPпо условию 2) MNP = RQP по условию M Q 3) NPM = QPR как вертикальные 4) ∆MNP = ∆RQPпо стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

21. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство A C Дано:∆ АВС и ∆ DBE AB = DB BAC = BDE Доказать: ∆ АВС = ∆ DBE B Доказательство: 1) AB = DBпо условию 2) BAC = BDE по условию D E 3) ABC = DBE как вертикальные 4) ∆ АВС = ∆ DBЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

22. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство B Дано:∆ АВС и ∆ DBC AB = DB AC = DC Доказать: ∆ АВС = ∆ DBC S Доказательство: 1) AB = DBпо условию 2) AC = DC по условию 3) BC - общая C D A 4) ∆ АВС = ∆ DBC по трём сторонам (третий признак равенства треугольников)

23. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство L M Дано:∆ KLN и ∆ MNL KL = MN KN = ML Доказать: ∆ KLN = ∆ MNL S Доказательство: 1) KL = MNпо условию 2) KN = ML по условию 3) LN - общая K N 4) ∆ KLN = ∆ MNL по трём сторонам (третий признак равенства треугольников)