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陀螺浅谈. 陀螺是什么？我们小时候都玩过它。它是一种木头做的圆锥形玩具，下端有尖针，绕上细绳，猛甩出去就能在地上旋转。 但是陀螺为什么能在旋转中保持稳定（即使它的重心偏离了转轴。）一直让我困惑不解。. 上了刚体一章后，我知道了陀螺的确切定义。如果一轴对称刚体绕该轴作高速转动的同时又绕轴上一定点运动，称此类刚体为陀螺 。. 有一种最简单的陀螺，它不受外力矩的作用。陀螺绕 x 轴自转， y ， z 轴也是可以转动的光滑轴。由于没有外力矩的作用，陀螺转轴的指向不变。 就是这一简单性质却发挥了重要作用。由于转轴方向的不 变性，它被用于导航等诸多领域。
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陀螺浅谈 • 陀螺是什么？我们小时候都玩过它。它是一种木头做的圆锥形玩具，下端有尖针，绕上细绳，猛甩出去就能在地上旋转。 • 但是陀螺为什么能在旋转中保持稳定（即使它的重心偏离了转轴。）一直让我困惑不解。
上了刚体一章后，我知道了陀螺的确切定义。如果一轴对称刚体绕该轴作高速转动的同时又绕轴上一定点运动，称此类刚体为陀螺 。 有一种最简单的陀螺，它不受外力矩的作用。陀螺绕x轴自转，y，z轴也是可以转动的光滑轴。由于没有外力矩的作用，陀螺转轴的指向不变。 就是这一简单性质却发挥了重要作用。由于转轴方向的不 变性，它被用于导航等诸多领域。 此图为用与模型飞机的陀螺仪。
陀螺的稳定性 • 玩具陀螺能只所以好玩，主要在于它运动中的稳定性。其实陀螺在运动中，只有其转轴是稳定的，陀螺本身还包含了进动和章动。
陀螺的进动 • 右图（a）是杠杆陀螺的示意图。A是旋转圆盘，P是重物，但是，A，P的重心偏离了Z轴l。 如果圆盘不转动，重力的力矩将使 圆盘绕x轴转动，直至圆盘倒下。 但是，转动的圆盘有着截然不同的性质—它将绕z轴进动。为何杠杆陀螺可以保持转轴的稳定？
实际上，陀螺在外力矩作用下，其角动量有向外力矩方向偏斜的趋势，但是，一旦角动量方向（转轴方向）改变，外力矩也随之改变，最终导致陀螺绕z轴的进动。实际上，陀螺在外力矩作用下，其角动量有向外力矩方向偏斜的趋势，但是，一旦角动量方向（转轴方向）改变，外力矩也随之改变，最终导致陀螺绕z轴的进动。 • 或者，从力与运动的角度分析。选择与陀螺一起进动的参考系，圆盘上各质点受到惯性力和科里奥利力的作用。惯性力的合力通过支点O，对O 点的力矩为0。但是，科里奥利力是随着圆盘上个质点的运动情况变化的，速度与x O y平面垂直的不受科里奥利力的作用。而速度平行与X O Y平面的质点所受的科里奥利力矩之和刚好与重力矩相抵消。陀螺及惯性导航原理
定量的分析陀螺进动的角速度 • 设陀螺绕对称轴的转动惯量为J，则自转角动量为L=Jω，在外力矩M的作用下，经⊿t时间，角动量有一增量⊿L=M⊿t，⊿t后，陀螺的角动量将绕z轴转过一个⊿φ。 ⊿L=L⊿φ=M ⊿ t 进动角速度Ω=⊿ φ/ ⊿ t Ω=M/L Ω=m g l/Jω ，m是杠杆陀螺的总质量。
对于玩具陀螺 • F=m g 设其自转轴与竖直方向成θ角，质心与支点的距离为l，由角动量定理， m g l sinθ⊿ t=J ω sinθ⊿φ Ω= ⊿φ /⊿ t Ω=m g l/J ω 得到与杠杆陀螺相同的结论 。
陀螺的章动 • 陀螺在进动的过程中还伴有上，下的周期性运动，称为章动。 • 先固定杠杆陀螺的旋转轴，让它自转后，再释放之。轴端将沿一摆线运动。这就是章动。
下面简单分析一下章动的原因。 • 当陀螺的轴释放后，它并不马上进动，而是在重力矩的作用下稍稍下倾，一旦发生下倾运动，就产生方向竖直向上的力矩M，使陀螺产生绕竖直轴的进动，此进动有产生与重力矩方向相反的力矩N，M，N与相与的角速度成正比。开始时，下倾角速度较小，M也小，重力矩大于M，使下倾运动加速。因此N也增大，使进动加速，进动回转力矩也增大，使M渐渐大于重力矩，陀螺开始上升，同时产生方向竖直向下的力矩使进动减速。如此往返，陀螺就一边进动，一边周期性的上下章动。
参考资料： • 杨维纮 ，《力学》，中国科技大学出版社 • 郑永令，贾起民，方小敏，《力学》，高等教育出版社。 • 陆元九《 陀螺及惯性导航原理 》上册。
