CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o. EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0011

1. CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o. EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0011 VY_32_INOVACE_04_09 Lineární funkce, rovnice a nerovnice Zpracovala: RNDr. Lucie Cabicarová Datum: 21. únor 2013 Vzdělávací oblast: Všeobecně vzdělávací předměty Předmět: Matematika, Seminář z matematiky Ročníky: 1., 2. a 4. ročník – denní forma vzdělávání 3. a 5. ročník – dálková forma vzdělávání VY_32_INOVACE_04_09

2. ANOTACE • Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: • Lineární funkce, její předpis, graf a vlastnosti • Lineární rovnice, jejich soustavy a využití v reálných situacích • Lineární nerovnice, jejich soustavy, nerovnice v podílovém tvaru • Každý způsob výpočtu je doplněn vzorovým příkladem včetně výpočtu. VY_32_INOVACE_04_09

3. LINEÁRNÍ FUNKCE předpis … y = ax + b (nebo také ax + by + c = 0) graf … přímka nebo její část D(f) … R (pokud není stanoveno jinak) a  0 … rostoucí a  0 … klesající b … určuje posun po ose y speciální typ … přímá úměrnost (y = ax) Grafem je přímka procházející počátkem KSS. VY_32_INOVACE_04_09

4. URČENÍ FUNKCE Př. 1: Graf lineární funkce fprochází body A2; 4 a B– 3; 1. Jaký má předpis? Jde o lineární funkci: y = ax + b Dosadím bod A: 4 = 2a + b Dosadím bod B: 1 = – 3a + b Řeším jednoduchou soustavu rovnic (rovnice od sebe odečtu): 3 = 5a  a = 0,6 Dosadím zpátky do rovnice: 4 = 1,2 + b  b = 2,8 Předpis funkce f: y = 0,6x + 2,8 VY_32_INOVACE_04_09

5. LINEÁRNÍ ROVNICE ax + b = 0 Pomocí ekvivalentních úprav rovnic určíme x-ovou souřadnici průsečíku grafu funkce y = ax + b s osou x. x … proměnná Ekvivalentní úpravy: - Přičtením či odečtením reálného čísla od obou stran rovnice se její kořen nezmění. - Vynásobením obou stran rovnice reálným číslem se její kořen nezmění. - Vydělením obou stran rovnice reálným číslem různým od nuly se její kořen nezmění. VY_32_INOVACE_04_09

6. ŘEŠENÍ LINEÁRNÍ ROVNICE Řešení rovnice: - jednoprvková množina - prázdná množina - všechna reálná čísla (s výjimkou čísel z podmínek existence lomeného výrazu) VY_32_INOVACE_04_09

7. ÚPRAVY ROVNICE Př. 2: Řešte rovnici: 2(x – 3) + = 1 – 2x – 6 + = 1 – / . 12 24x – 72 + 4(x + 7,5) = 12 – (x – 4) 24x – 72 + 4x + 30 = 12 – x + 4 24x + 4x + x = 12 + 4 + 72 – 30 29x = 58 / : 29 x = 2 P = 2 ZK VY_32_INOVACE_04_09

8. zkouška L = 2 . (2 – 3) + = 2 . (– 1) + = – 2 + = = = = P = 1 – = 1 + = 1 + = VY_32_INOVACE_04_09

9. ROVNICE S LOMENÝM VÝRAZEM Př. 3: Řešte rovnici: = 2 – / . 15x 3 . 8 = 15x . 2 – 1 24 = 30x – 1 25 = 30x / : 30 = x / : 2 x = P: x  0 P =  ZK VY_32_INOVACE_04_09

10. zkouška L == = P = 2 – = 2 – = 2 – == == VY_32_INOVACE_04_09

11. SLOVNÍ ÚLOHA Př. 4: Firma vyrobila za tři dny 2 000 výrobků. Druhý den vyrobila o 300 výrobků méně a třetí den o 200 výrobků více než první den. Kolik výrobků vyrobila v jednotlivých dnech? Zápis úlohy: Celkem … 2 000 výrobků 1. den … x 2. den … x – 300 3. den … x + 200 x + x – 300 + x + 200 = 2 000 3x – 100 = 2 000 3x = 2 100 x = 700 ZK VY_32_INOVACE_04_09

12. zkouška 1. den … 700 výrobků 2. den … 700 – 300 = 400 výrobků 3. den … 700 + 200 = 900 výrobků Celkem … 700 + 400 + 900 = 2 000 výrobků Firma první den vyrobila 700 výrobků, druhý den 400 výrobků a třetí den 900 výrobků. VY_32_INOVACE_04_09

13. SOUSTAVA LINEÁRNÍCH ROVNIC Metody řešení: Metoda dosazovací - z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme za ni do rovnice druhé – získáme rovnici o jedné neznámé, tu vyřešíme a dosadíme výsledek zpět do vyjádření – tím získáme druhou neznámou Metoda porovnávací - z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou a sestavíme z nich novou rovnici - získáme opět rovnicio jedné neznámé … Metoda sčítací - obě rovnice upravíme násobením tak, aby se po sečtení rovnic jedna z neznámých odečetla - získáme opět rovnici o jedné neznámé … Řešení = uspořádaná dvojice neznámých VY_32_INOVACE_04_09

14. ÚPRAVA SOUSTAVY ROVNIC Př. 5: Řešte soustavu rovnic: x – 3y + 11 = 0 3x + 5y – 9 = 0 x – 3y = – 11 / . 5 3x + 5y = 9 / . 3 5x – 15y = – 55 9x + 15y = 27 14x = – 28 x = – 2 – 2 – 3y = – 11 – 3y = – 9 / : (– 3) y = 3 P = – 2; 3 ZK VY_32_INOVACE_04_09

15. zkouška L = 3 . (– 2) + 5 . 3 = – 6 + 15 = 9 P = 9 VY_32_INOVACE_04_09

16. LINEÁRNÍ NEROVNICE Úpravy jsou stejné jako v případě lineární rovnice. Výjimka: Při násobení nebo dělení záporným číslem se otočí znaménko nerovnosti! Nerovnice s lomeným výrazem je nutné převést do tvaru rovnice v podílovém tvaru – řešíme pomocí nulových bodů. VY_32_INOVACE_04_09

17. ŘEŠENÍ LINEÁRNÍ NEROVNICE Řešení nerovnice: - interval nebo sjednocení intervalů - prázdná množina - všechna reálná čísla (s výjimkou čísel z podmínek existence lomeného výrazu) VY_32_INOVACE_04_09

18. ÚPRAVY LINEÁRNÍ NEROVNICE Př. 6:  4x – 9 / . 3 x + 6  12x – 27 – 11x  – 33 / : (– 11) x  3 P = (– ; 3 VY_32_INOVACE_04_09

19. NEROVNICE V PODÍLOVÉM TVARU Př. 7:  0 x1 = – 6 x2= P = (– ; - 6  (; ) VY_32_INOVACE_04_09

20. Zdroje: Polák, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2003. 608 s. ISBN 80-7196-267-8 Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. cabicarova@sosptu.cz VY_32_INOVACE_04_09