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云南农业大学经济管理学院 主讲 : 佘迎红. E-mail: sheyinghongkm@yahoo.com.cn Tel: 13888581179. 4.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP 4.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 4.3 单纯形法 Simplex Method. 4.1 目标规划 的数学模型. 线性规划的局限性:
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云南农业大学经济管理学院 主讲: 佘迎红 E-mail: sheyinghongkm@yahoo.com.cn Tel: 13888581179
4.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP 4.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 4.3 单纯形法 Simplex Method
4.1 目标规划的数学模型 线性规划的局限性: 只能解决一组线性约束条件下,某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。而在现实生活中最优只是相对的,或者说没有绝对意义下的最优,只有相对意义下的满意。 1978年诺贝尔经济学奖获得者西蒙(H.A.Simon-美国卡内基-梅隆大学,1916)教授提出“满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多”,否定了企业的决策者是“经济人”概念和“最大化”行为准则,提出了“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则,对现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究。
4.1 目标规划的数学模型 实际决策中,衡量方案优劣往往要考虑多个目标 • 生产计划决策中,通常要考虑产值、利润、满足市 场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等。 • 生产布局决策中,除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外,还要考虑到污染和其它社会因素等 。 • 这些目标中,有主要的,也有次要的;有最大的,也有最小的;有定量的,也有定性的;有互相补充的,也有互相对立的,LP则无能为力。
4.1 目标规划的数学模型 目标规划是在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题最有效的方法之一。 目标规划由美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中首先提出。 目标规划是在给定的资源条件下,按所规定的若干目标值及实现这些目标的先后顺序,求总的偏差为最小的方案。
4.1目标规划的数学模型 4.1.1 引例 【例4-1】 表 4-1
4.1.1引 例 【解】设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3,则使企业在计划期内总利润最大的线性规划模型为: 最优解 X=(50,30,10),Z=3400
4.1.1引 例 现在决策者根据企业的实际情况和市场需求,需要重新制定经营目标,其目标的优先顺序是: (1)利润不少于3200元; (2)产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5; (3)提高产品丙的产量使之达到30件; (4)设备加工能力不足可以加班解决,能不加班最好不加班; (5)受到资金的限制,只能使用现有材料不能再购进。 问企业如何安排生产计划才能到达经营目标。
4.1.1引 例 【解】最优解实质是求下列一组不等式的解 通过计算不等式组无解,即使设备B加班10小时仍然无解。
4.1.1引 例 目标规划是按事先制定的目标顺序逐项检查,尽可能使得结果达到预定目标,即使不能达到目标也使得离目标的差距最小,这就是目标规划的求解思路,对应的解称为满意解。 • 设d-为未达到目标值的差值,称为负偏差变量。 • d +为超过目标值的差值,称为正偏差变量。
4.1.1引 例 (1)设d1-是未达到利润目标的差值, d1+为超过利润目标的差值 • 当利润小于3200时, d1->0且d1+=0, 有 40x1+30x2+50x3+d1- =3200成立 • 当利润大于3200时,d1+>0且d1- =0,有 40x1+30x2+50x3-d1+ =3200成立 • 当利润恰好等于3200时,d1- =0且d1+ =0, 有 40x1+30x2+50x3=3200成立 实际利润只有上述三种情形之一发生,因而可以将三个等式写成一个等式 40x1+30x2+50x3+d1--d1+=3200
4.1.1引 例 利润不少于3200理解为达到或超过3200,即使不能达到也要尽可能接近3200,可以表达成目标函数{d1-}取最小值,则有
目标约束(软约束) 系统约束(硬约束) 4.1.1引 例 目标(达成)函数
4.1.1引 例 满意解: 约束分析:
4.1.2数 学 模 型 目标规划数学模型的构成要素: 目标函数:一定是“min”, 不含决策变量,不含“-”号。
4.1.2数 学 模 型 说明 (1)目标规划数学模型的形式有:线性模型、非线性模型、整数模型、交互作用模型等 (2)一个目标中的两个偏差变量di-、 di+至少一个等于零,偏差变量向量的叉积等于零:d-×d+=0 (3)目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数,求最小值,按多个目标的重要性,确定优先等级,顺序求最小值。
4.1.2数 学 模 型 不同目标的重要程度有两种差别: • 绝对差别: 用优先因子Pj表示,P1》P2》…》Pk, 即Pl对应的目标绝对优先于Pl+1对应的目标。 • 相对差别: 具有同一级别优先因子的多个目标,可根据目标的相对重要程度,分别赋予它们不同的权值,以区别不同的偏差变量在同一优先级内的相对重要程度。
4.1.2数 学 模 型 目标函数的三种基本表达形式 • 要求尽可能恰好达到规定的目标值 minz=dk++dk- • 希望尽可能不低于目标值(允许超过) minz=dk- • 希望尽可能不超过目标值(允许少于) minz=dk+
4.1.2数 学 模 型 (4)目标值是按决策者的意愿,事先给定的,因此也称为理想值。 (5)目标约束具有更大的弹性,允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差。 (6)目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时,决策者首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方法,构造各目标的权系数,依据权系数的大小确定目标顺序。
4.1.2数 学 模 型 (7)多目标决策问题。多目标决策研究的范围比较广泛,在决策中,可能同时要求多个目标达到最优。例如,企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能最大,投资风险尽可能最小,属于多目标决策问题。本章的目标规划尽管包含有多个目标,但还是按单个目标求偏差变量的最小值,目标规划只是多目标决策的一种特殊情形。
4.1.2 数 学 模 型 【补充例】 某企业生产A、B两种产品,已知有关数据如下: 决策者拟定下列经营目标,试建立目标规划数学模型。 1级目标:充分利用设备有效台时,不加班; 2级目标:产品A的产量不超过10,产品B的产量不少于4 (权系数按利润的比例确定); 3级目标:实现利润130千元。
4.1.2数 学 模 型 目标规划的一般模型
4.1.2数 学 模 型 【例4-2】某企业集团计划用1000万元对下属5个企业进行技术改造,各企业单位的投资额已知,考虑2种市场需求变化、现有竞争对手、替代品的威胁等影响收益的4个因素,技术改造完成后预测单位投资收益率((单位投资获得利润/单位投资额)×100%)如表4-2所示. 集团制定的目标是: (1)希望完成总投资额又不超过预算; (2)总期望收益率达到总投资的30%; (3)投资风险尽可能最小; (4)保证企业5的投资额占20%左右. 集团应如何作出投资决策.
4.1.2 数 学 模 型 表4-2
4.1.2 数 学 模 型 【解】设xj(j=1,2,…,5)为集团对第 j 个企业投资的单位数。 (1)总投资约束: (2)期望收益约束: 整理得
(4)企业5占20%的投资的目标函数为 ,约束条件 即 4.1.2数 学 模 型 (3)投资风险约束。这里用离差(rij-E(rj))近似表示风险值
4.1.2数 学 模 型 【例4-3】车间计划生产甲、乙 两种产品,每种产品均需经过A、B、C三道工序加工。工艺资料如表4-3所示。 表4-3 (1)车间如何安排生产计划,使产值和利润都尽可能高 (2)如果认为利润比产值重要,怎样决策
4.1.2数 学 模 型 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的日产量,得到线 性多目标规划模型:
4.1.2数 学 模 型 (1)将模型化为目标规划问题。 产值最大(LP)的最优解:X(1) =(20,40),Z1=3800 利润最大(LP)的最优解:X(2)=(30,30),Z2=540 将3800和540分别作为产值和利润的目标值 得到目标规划数学模型:
4.1.2 数 学 模 型 (2)给 d2-赋予一个比d1-的系数大的权系数 .
补充作业 某单位领导在考虑单位职工的升级调资方案时,依次有以 规定: (1)月工资总额不超过60000元; (2)每级的人数不超过定编规定的人数; (3)现有II、III级中人的升级面尽可能达到现有人数的20%; (4)III级不足编制的人数可录用新职工,又I级职工有10%要退休。 其它资料见下表。 问该单位领导应如何拟订一个满意的方案。
本节学习要点 4.1目标规划的数学模型 本节介绍了如何建立目标规划的数学模型及有关概念 1. 目标规划由哪些要素构成,与线性规划有哪些不同之处 2. 偏差变量的含义及其作用 3. 目标函数的表达方法 4. 优先级别的含义 下一节:目标规划的图解法
4.2目标规划的图解法 对于只有两个决策变量的目标规划问题,可以用图解法来求解。求解时,首先必须满足所有系统(绝对)约束,在此基础上,再按照优先级从高到低的顺序,逐个地考虑各个目标约束。
4.2目标规划的图解法 目标规划的图解法的思路 • 首先是在可行域 R 内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1; • 然后再在R1 中寻找一个使P2 级各目标均满足的区域R2 ; • 接着再在R2 中寻找一个满足P3 级各目标的区域R3; • 如此继续直到寻找到一个区域Rk 满足Pk 级各目标,而不保证满足其后的各级目标,这时Rk即为这个目标规划的最优解空间,其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
4.2目标规划的图解法 【例4-4】企业计划生产甲、乙 两种产品,这些产品需要使用两种材料,要在两种不同设备上加工。工艺资料如表4-4所示。 表4-4
4.2目标规划的图解法 企业怎样安排生产计划,尽可能满足下列目标: (1)力求使利润指标不低于80元; (2)考虑到市场需求,甲、乙两种产品的生产量需保持 1:1 的比例; (3)设备A既要求充分利用,又尽可能不加班; (4)设备B必要时可以加班,但加班时间尽可能少; (5)材料不能超用。
4.2 目标规划的图解法 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量,目标规划数学模型为:
x2 (5) 6 (6) (4) (1) B D (2) 4 C (3) 满意解C(3,3) E 2 A 可行域 满意解 X=(3,3) x1 F o 2 6 4 图4-1
4.2 目标规划的图解法 结果分析: 满意解 X=(3,3) 即满意的生产方案是产品甲、乙各生产3件,此时,材 料Ⅰ消耗9公斤,材料Ⅱ消耗12公斤,均没有超出现有量。 将满意解代人各目标约束,得 (1) 完成利润180元,超过100元; (2) 满足产品比例要求; (3) 设备A的时间恰好用完; (4) 设备B要加班9小时
4.2目标规划的图解法 目标规划的图解法步骤 1. 按照绝对约束画出可行域(满足系统约束和决策变量非负的解的集合); 2. 不考虑正负偏差变量,画出目标约束的边界线,并标出偏差变量变化时的直线平移方向; 3. 按优先级别和权重依次分析各级目标。
满意解是线段 上任意点,端点是B(100/3,80/3),C(60,0)。 决策者根据实际情形进行二次选择。 例4-5(1) x2 (1) 100 80 (2) (3) 60 (4) A 40 B 20 可行域为第1象限 x1 C 20 40 60 80 100 图4-2
例4-5(3) x2 (1) 100 80 (2) (3) 60 (4) A 40 满意解是点 B,X=(100/3,80/3) B 20 x1 C 20 40 60 80 100 图4-4
例4-5(2) x2 (1) 100 80 E (2) (3) D(80/9,560/9) 注:线段DA是第二目标函数的组合, 点A对应的偏差:d2-=100, d3+=0 点D对应的偏差: d2-=0, 2d3+=2×200/9=400/9 60 (4) A(20,40) 40 满意解是点 D,X=(80/9,560/9) 20 x1 F 20 40 60 80 100 图4-3
4.2 目标规划的图解法 结论 目标规划可行解集非空时,一定存在满意解。 目标规划没有系统约束时,一定存在满意解。
本节学习要点 4.2目标规划的图解法 本节介绍了目标规划的图解法 1. 画出系统约束和目标约束直线 2. 标明偏差变量大于零的变量X的取值区域 3. 按优先次序分别求各目标的最小值 4. 仔细体会例4-5(2)的计算要领 下一节:单纯形法
4.3 单 纯 形 法 单纯形法求解目标规划可参照第1章的步骤,只是目标规划的检验要按优先级顺序逐级进行,不同的是: (1)首先使得检验数中P1的系数非负,再使得P2的系数非负,依次进行; (2)(最优解判别准则)当P1、P2、…、Pk对应的系数全部非负时得到满意解; (3)如果P1,…,Pi行系数非负,而Pi+1行存在负数,并且负数所在列上面P1,…,Pi行中存在正数时,得到满意解,计算结束。
4.3 单 纯 形 法 【例4-6】用单纯形法求解下述目标规划问题 【解】以d1-、d2-、d3-为基变量,求出检验数,将检验数中优先因子分离出来,每一优先级做一行,列出初始单纯形表4-5。
4.3 单 纯 形 法 表4-5 []