TEMA 3 : DETERMINANTES.

1. TEMA 3 : DETERMINANTES. 1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.

2. 3.1.DETERMINANTES DE ORDEN DOS • El determinante de una matriz de orden doses un número que se obtiene del siguiente modo: Sea entonces su determinante se denota: Y se calcula: Ejemplos:

3. 3.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES • El determinante de una matriz de orden treses un número que se obtiene del siguiente modo: Sea entonces su determinante se denota: Y se calcula:

4. Propiedades de los determinantes: • El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: • Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero: • Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. • Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. • Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. • Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero. • < • Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía. • Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de las demás. • El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

5. 1ªEl determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: Veamos dos ejemplos: En general:

6. 2ªSi un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero: Veamos tres ejemplos: En general:

7. 3ªSi permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo: Veamos dos ejemplos: En general:

8. 4ªSi una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero: Veamos dos ejemplos: En general:

9. 5ªSi multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número : Veamos dos ejemplos: En general:

10. 6ªSi una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero: Veamos dos ejemplos: En general:

11. 7ª Veamos ejemplos:

12. 8ªSi a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía: Veamos dos ejemplos: En general:

13. 9ªSi una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demásparalelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de lasdemás: Veamos dos ejemplos: En general:

14. 10ªEl determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: Veamos un ejemplo:

15. 3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO “Menor de orden 3” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 3 filas y 3 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 3. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 3 de la matriz inicial. “Menor de orden 2” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial. “Menor” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 2: Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 3: “Menor de orden 2” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial. “Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada n × n destacamos un elemento aij,al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz(n–1) × (n–1). Su determinante es un menor de orden n–1 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij. “Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 × 3 destacamos un elemento aij,al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz2 × 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 3 : “Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 × 3 destacamos un elemento aij,al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz2 × 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij.

16. 3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO “Adjunto” de un elemento en una matriz cuadrada: Se llama adjunto de aij,al número Aij= (–1)i+j ∙αijes decir al menor complementario con su signo o con el signo cambiado, según que i+j sea par o impar. Para simplificar el cálculo también se puede utilizar las matrices de signos: Ejemplos:

17. 4.6 MATRIZ INVERSA. Matriz inversa: Para que una matriz A cuadrada posea matriz inversa tiene que cumplirse la siguiente condición: El determinante de la matriz tiene que ser distinto de cero. |A|≠ 0 En dicho caso, para calcular la matriz inversa se utiliza la siguiente formula para calcularla: Ejemplos:

18. Propiedades del producto de matrices: • ASOCIATIVA: Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables. • El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO en general: Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo “ La matriz M está multiplicando por la izquierda (o por la derecha)…”

19. 2.4 MATRICES CUADRADAS Las matrices cuadradas de orden m, además de sumarse y multiplicarse por un número, pueden multiplicarse entre sí. Veamos algunas definiciones y propiedades: Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de términos son ceros. Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notación si existe de la matriz inversa es A-1 Cumple la siguiente propiedad: El procedimiento para calcularla lo veremos en la unidad 4.

20. 2.5 n-UPLAS DE NÚMEROS REALES • n-Uplas de números reales: Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de números reales. • Combinación lineal de vectores: Dados El vector formado por Se llama combinación lineal de los vectores Una combinación lineal de varias n-uplas es el resultado de multiplicar cada una de ellas por un número y sumarlas.

21. Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. El máximo número posible de n-uplas linealmente independientes es n.

22. 2.6 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. • Teorema: En una matriz, el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I. Ejemplos: el máximo rango posible es 2 porque

23. 2.7 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES • Si tenemos un sistemas de ecuaciones lineales, podemos escribir dicho sistema de una forma matricial de forma que: Si nos fijamos en los coeficientes: Escribimos la matriz de coeficiente: Y la matriz incógnita: y la matriz de los términos independientes: Por tanto tenemos que el sistema se puede escribir así

24. ESQUEMA TEMA 2