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情報科学. 第６回　数値解析 (1). 数値計算とは？. 代数演算 等式を一定の規則のもとに変形して解析的に求める 数値計算 反復計算によって “ 近似的に ” 解を求める 解析的に求めることが困難な方程式を解く場合に用いる. 例）　物理学、化学、天文学などにおける数値積分 　　　や微分方程式の解法など. 数値解析 (1) トピック. 数値計算における誤差 数値積分 微分方程式の解法. 1. 数値計算における誤差. 実数データ表現 浮動小数点表現 丸め誤差 0.1 の 2 進数表記・ 単精度表現・倍精度表現 桁落ち 情報落ち 打切り誤差

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  1. 情報科学 第６回　数値解析(1)

  2. 数値計算とは？ • 代数演算 • 等式を一定の規則のもとに変形して解析的に求める • 数値計算 • 反復計算によって“近似的に”解を求める • 解析的に求めることが困難な方程式を解く場合に用いる 例）　物理学、化学、天文学などにおける数値積分 　　　や微分方程式の解法など

  3. 数値解析(1)トピック • 数値計算における誤差 • 数値積分 • 微分方程式の解法

  4. 1. 数値計算における誤差 • 実数データ表現 • 浮動小数点表現 • 丸め誤差 • 0.1の2進数表記・単精度表現・倍精度表現 • 桁落ち • 情報落ち • 打切り誤差 • Taylor展開・級数展開の高次項の影響

  5. 実数データ表現 • 計算機内の数値データは，有限長のビット列で表現される • 大きな数や小さな数を表現するためには， 符号部と指数部，仮数部をもった実数表現(浮動小数点表現)が利用される IEEE 754　実数表現に関する規格 指数 符号 仮数 この表記は、例えば、1.0101…010を２進数として解釈するという意味である バイアス（指数が負の値をとれるようにするため）

  6. 単精度と倍精度 • 単精度　32ビットで実数を表現 • 倍精度　64ビットで実数を表現 IEEE 754　実数表現に関する規格 指数部と仮数部がすべて０の実数は０（±０）を意味する このほかにも±無限大などの表現が可能 整数の大小比較回路がそのまま使える

  7. 丸め誤差 • 10進数を2進数で表現する場合、有限桁では近似的にしか表せないことに起因する誤差 例） 0.1 (10) = 2-4+ 2-5+ 2-8+ 2-9+… =0.000110011… (2) x 20 = 1.10011… (2) x 2-4 0.1(10)は有限桁では近似的にしか表現できない (10進数の小数で1/3や1/7を表す場合に相当） 1/3 = 0.333333… 1/7 = 0.142857…

  8. 丸め誤差の例 Ruby # irbで以下を試してみる (0.1*3==0.3) # 上記と同じことを実現するのに以下の書き方もある (0.1*3-0.3).zero? これは0.1の3倍が0.3に等しいかどうかを真偽で評価するための表現で 数学的には真(true)という結果になるはずであるが、実際は偽(false)となる 仮数部 符号部 指数部 0捨1入 倍精度表現では ["0", "01111111011", "10011001100…110011010"] 0捨1入 ["0", "01111111101", "001100110011…00110100"] 誤差 ["0", "01111111101", "0011001100…1100110011"] 丸め誤差は # （検証）irbで以下を試してみよ 0.1*3-0.3 2**-54 0が52個

  9. ０捨1入 ..0110011010 ..1100110100 ------------------- ..0011001110 ..00110100

  10. 単精度表現 • 仮数部23ビット指数部8ビット 仮数の表現範囲は有効桁数は24ビット これは10進数で7桁程度の精度しかないことを意味する 1.00…0 (2) =1 から1.11…1(2) =2 - 2-23≈ 2 - 1.2 x 10-7 ≈ 2 指数の表現範囲は 1.2 x 10-38 から1.7 x 1038 200000001 (2) -127 =2-126 ≈ 1.2 x 10-38 211111110 (2) -127 =2127 ≈ 1.7 x 1038 200000000 (2) -127 と、 211111111 (2) -127 は 特別な意味を持つので 除外してある 最大値の限界は　≈ 2 x 2127=2128 ≈ 3.4 x 1038となる

  11. 倍精度表現 • 仮数部52ビット指数部11ビット 仮数の表現範囲は有効桁数は53ビット これは10進数で16桁程度の精度 1.00…0 (2) =1 から1.11…1(2) =2 - 2-52≈ 2 - 2.2 x 10-16≈ 2 指数の表現範囲は 2.2 x 10-308 から9.0 x 10307 2000…01 (2) -1023 =2-1022 ≈ 2.2 x 10-308 2111…10 (2) -1023 =21023 ≈ 9.0 x 10307 2000…000 (2) -1023 と 2111…111 (2) -1023 は 特別な意味を持つので 除外してある 最大値の限界は　2 x 2102３=21024 ≈ 1.7 x 10308となる

  12. 桁落ち誤差と情報落ち誤差 • 計算機の数値計算では誤差が拡大する可能性がある • 桁落ち誤差と情報落ち誤差がある • 桁落ち誤差 • 近い数値間の減算による誤差 • ほぼ同じような数値の差をとると有効桁数が減少する • 情報落ち誤差 • 大きさの異なる数値間の加減算による誤差 • 大きさの異なる数値の加減算では、小さな数値は大きな数値の有効桁範囲外になり無視されてしまう

  13. 桁落ち誤差の例 Ruby err1.rbの実行結果 h を十分小さく取れば微係数は、 　　　　　　　　　で近似できる 桁落ち誤差 hを変えてx=1における微係数の誤差を調べる 打切り誤差 def f(x) Math.log(x); # f(x)=ln(x) end x=1.0; 15.times { |i| h =0.1**i#h=0.1, 0.01, …, 1e-15 df=(f(x+h)-f(x))/h err=(df-1.0).abs print "h=",h,"\t f'(",x,")=",df," err=",err,"\n" } 　　　を小さくしていくと、 ある程度までは打切り誤差が 減少していくが、より微小になると 　　　　　と　　　　　の差も微小となり 有効桁数が減少する err1.rb その結果、桁落ち誤差が大きくなる ※打切り誤差については 後ほど述べる

  14. 打切り誤差 • ある関数の値を無限級数を用いて数値計算する場合、有限の項数で打切って近似することにより生じる誤差 （たとえ，実数が無限精度で表現できても生じる） 例）指数関数の原点の周りのテイラー展開 無限回の計算を行うことはできないので、有限回（n回）で 打切って近似を行う スライド13では 微係数を求める場合の 打切り誤差の例を紹介した 誤差の主要成分は

  15. 2. 数値積分 • 台形公式 • シンプソン公式

  16. 台形公式 • 積分を区分線形(piecewise linear)で近似する方法 • 全積分区間をn等分し各部分区間 　の積分を台形の面積として計算し総和をとる

  17. 台形公式（続き） ある関数 の から までの 積分の近似値を求めるには、 各部分区間 における台形の総和で近似する

  18. シンプソン公式 • 積分を1次式ではなく2次式で近似する方法 台形公式(1次式近似) シンプソン公式(2次式近似)

  19. ラグランジュ補間 • ある関数　　　を3点　で補間する2次関数

  20. シンプソン公式（続き） とし 部分区間 区間 の部分の積分近似値は となるため、 から までの 積分近似値の総和は

  21. 3．常微分方程式の解法 • Euler Method • Runge-Kutta (Gill) Method

  22. 常微分方程式の数値解法 • 高階(n階)の常微分方程式は一般にn組の連立1階常微分方程式に帰着される • 1階の常微分方程式の解法が基本となる • (1階)常微分方程式の数値解法にはTaylor展開を利用する場合が多い で解く場合 を初期条件 常微分方程式 初期条件近傍の解 はTaylor展開で求まる In the order of

  23. Euler法 で解く場合 を初期条件 常微分方程式 を起点としてその近傍 を以下のように逐次求める (Eulerの公式) 任意の値 はこの漸化式を数値計算することにより 数列として求めることができる 問題点：精度が良くない・誤差が蓄積する

  24. 簡単な例 Ruby def euler(n) y = 1.0 h = 1.0/n for i in 0..n-1 y = y + (1.0/(2*y))*h end y end

  25. y sqrt[2] 1 x 0 1 2

  26. Taylor展開・数値解法の問題 • アイデア：Euler法（１次）よりも高次の微分係数を用いる方法が考えられる • 問題点：計算機では高次の導関数を求める数式処理が一般に容易ではない 例） ではどうするか？

  27. Runge-Kutta法 • 別の方法でTaylor級数と同値なものを計算する方法を考える • アイデア：高次導関数を求めるのではなく、高次導関数の値を差分で近似する ※高次導関数が 現れていないこと に注意 上の式で の値が、 の2次の項までは、 を決めたい Taylor級数（下の式）と一致するように

  28. Runge-Kutta法（続き） に注意すると の項は に含まれる そこで と (Taylor展開 2次まで） の両式が に関係なく等しくなるためには 従って

  29. 天下りに与えられているとすると、 上2式を代入 　　　に注意して偏微分を常微分に 　　を代入すると２次までの Taylor展開になっている

  30. Runge-Kutta法（続き） • 従って、以下の方法での数値解法は、　　の2次の項まではTaylor級数と一致する 2次の Runge-Kutta法 これを2次のRunge-Kutta法と呼ぶ 同様の手法用いることにより、 高次のRunge-Kutta法を導くこともできる

  31. 簡単な例 Ruby def runge_kutta(n) y = 1.0 h = 1.0/n for i in 0..n-1 k1 = 1.0/(2*y)*h k2 = (1.0/(2*(y+k1)))*h y = y + (k1+k2)/2.0 end y end

  32. 収束に関するコメント • Euler • hの項まで近似している • 各ステップの誤差はh^2に比例 • ステップ数は1/hに比例 • 各ステップの誤差が積もるとhに比例した誤差 • Runge-Kutta • h^2の項まで近似している • 各ステップの誤差はh^3に比例 • ステップ数は1/hに比例 • するので、これが積もるとh^2に比例した誤差

  33. 数値解析(1) まとめ • 数値計算には種々の誤差が生じる • 実数表現 • 丸め誤差 • 打切り誤差 • 桁落ち • 情報落ち • 数値積分の数値解法 • 台形公式 • シンプソン公式 • 常微分方程式の数値解法 • Euler法 • Runge-Kutta (Gill)法

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