Fakulteti I shkencave te Aplikuara Dega: Makineri Industriale Viti akademik 2006/07

1 / 33

# Fakulteti I shkencave te Aplikuara Dega: Makineri Industriale Viti akademik 2006/07 - PowerPoint PPT Presentation

Fakulteti I shkencave te Aplikuara Dega: Makineri Industriale Viti akademik 2006/07. Matematika elementare Mesimdhenesi: Faton Merovci. Literatura. [1] Isak Hoxha Matematika elementare ,Prishtine 2003 [2].Terry Wesner Harry Nustad Intermediate Algebra with Application

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

## PowerPoint Slideshow about 'Fakulteti I shkencave te Aplikuara Dega: Makineri Industriale Viti akademik 2006/07' - neron

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Matematika elementare

Mesimdhenesi: Faton Merovci

Literatura

[1] Isak Hoxha

Matematika elementare ,Prishtine 2003

Intermediate Algebra with Application

[3] N.Braha, A.Shabani

Permbledhje detyrash nga Matematika elementare, Prishtine 2006

[4] Faton Merovci

Ligjerata dhe ushtrimet te publikuara ne

www.fatonmerovci.com

Hyrje ne Bashkesi
• Bashkesia
• Kuptim Themelor
• Ska perkufizim
Bashkesite
• Radhitja e elemnteve ne bashkesi nuk eshte e rendesishme
• A = {a, e, i, o, u} dhe
• B = {e, o, u, a, i} jane dy bashkesi te njejta.
• Ne bashkesi nuk preferohet te perseritet elemneti

F = {a, e, i, o, a, u} ‘a’ perseritet.

Bashkesite numerike

N = Bashkesia e numrave natyral = {1, 2, 3, …}

Z = Bashkesia e numrave plote= {…,-2, -1, 0, 1, 2, …}

• R = Bashkesia e numrave reale
• Q = Bashkesia e numrave racional
• C = Bashkesia e numrave kompleks
Disa shenime
• Le te jete A = {a, e, i, o, u} atehere
• Ne shenojme “‘a’ eshte element I ‘A’” si:
• a  A
• Ne shenojme “‘b’ nuk eshte element I ‘A’” si:
• b  A
• Shenim: b  A   (b  A)
Bashkesia univerzale dhe bashkesia boshe
• Bashkesdia univerzale shenohet me ‘U’.
• Bashkesia qe nuk ka asnje element quhet bashkesi boshe . Shenohet me  ose {}.
• P.sh. {x | x2 = 4 dhe x eshte numer tek} = 
Diagrami I Venit
• P.sh A = {a, e, i, o, u}

A

a

i

u

e

o

Bashkesite e Barabarta
• Bashkesia ‘A’ eshte e barabarte me bashkesine ‘B’ atehere dhe vetem atehere nese te dy bashkesite i kane elementet e njejta. Nese bashkesite ‘A’ and ‘B’ jane te barabarta atehere shenojme: A = B. Nese bashkesite ‘A’ dhe ‘B’ nuk jane te barabarta shenojme A  B.
• Me fjale te tjera mund te themi:

A = B  (x, xA  xB)

• P.sh.

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 1, 2, 5}, C = {1, 3, 5, 4}

D = {x : x  N  0 < x < 6}, E = {1, 10/5, , 22, 5} atehere

A = B = D = E dhe A  C.

Numri kardinal I bashkesise
• Numri I elementeve te nje bashkesie quhet numri kardinal I saj bashkesie. Le te jete ‘A’ ndonje bashkesi atehere numri kardinal I saj shenohet si |A| ose cardA.
• P.sh. A = {a, e, i, o, u} then |A| = 5.
Nenbashkesia ( ang. Subset)
• Bashkesia ‘A’ quhet nenbashkesi e bashkesise ‘B’ atehere dhe vetem atehere kur çdo element i bashkesise ‘A’ eshte gjithashtu element I bashkesise ‘B’. Ne mund te themi ‘A’ permbahet ne ‘B’ ose si ‘B’ e permban ‘A’. Kjo shenohet:
• A  B or B  A.
• Me fjale te tjera mund te themi:

(A  B)  (x, x  A  x  B)

Nenbashkesia vazhdim…
• Nese ‘A’ nuk eshte nenbashkesi e ‘B’ atehere kete e shenojme si A  B or B  A
• P.sh. A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3} dhe
• C = {2, 4, 6} atehere B  A and C  A

A

B

5

C

4

1

3

2

6

Disa veti te bashkesive
• Per çdo bashkesi ‘A’,   A  U
• Per çdo bashkesi‘A’, A  A
• A  B  B  C  A  C
• A = B  A  B  B  A
Nenbashkesia e vertete(ang.Proper Subsets)
• Nese A  B atehere eshte e mundur qe
• A = B.
• Themi se ‘A’ eshte nenbashkesi I vertete e bashkesise ‘B’ atehere dhe vetem atehere nese A  B and A  B. Dhe shenojme
• A  B or B  A.
• Me fjale te tjera mund te themi:

(A  B)  (x, xA  xB  AB)

Bashkesia partitive (ang. Power set)
• Bashkesia e te gjitha nenbashkesive te bashkesise ‘S’ quhet bashkesi partitive e bashkesise ‘S’. Kjo shenohet P(S) .

P(S) = {x : x  S}

• P.sh. A = {1, 2, 3} then

P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

• Shenim |P(S)| = 2|S|.
• P.sh |P(A)| = 2|A| = 23 = 8.
Komplementi (ang. Complement)
• Komplementi I bashkesise A eshte bashkesia e te gjitha elementeve qe I takojne bashkesise Univerzale dhe nuk I takojne bashkesisa A. Shenohet Ac or Ā ose Á .
• Ac = {x : xU  xA}
Diagrami I Venit per bashkesine A

Pjesa e hijezuar eshte komplementi I A

A

Ac

- nioni

A  B = {x : xA  xB}

• P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}

A  B = {3, 5, 7, 2, 3, 5} = {2, 3, 5, 7}

Prerja() - Itersection

A  B = {x : xA  xB}

• P.sh. A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}

A  B = {3, 5}

Diferenca

A B = {x : xA  xB}

• P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}

A B = {3, 5, 7} {2, 3, 5} = {7}

Diferenca

A B

A

7

B

5

3

2

Vetite
• A  AB dhe B  AB
• AB  A dhe AB  B
• |AB| = |A| + |B| - |AB|
• AB  BcAc
• A B = ABc
• Nese AB =  atehere themi ‘A’ dhe ‘B’ jane disjunkte.
Algjebra e Bashkesive
• Ligji I Idempotentes
• A  A = A
• A  A = A
• Ligji Asociativ
• (A  B)  C = A  (B  C)
• (A  B)  C = A  (B  C)
Ligji komutativ
• A  B = B  A
• A  B = B  A
• Ligji distributiv
• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Ligjet e Identitetit
• A  = A
• A U = A
• A U = U
• A  = 
• (Ac)c = A
Ligji I komplementit
• A  Ac = U
• A  Ac = 
• Uc = 
• c = U
Ligjet e De Morgan – it
• (A  B)c = Ac Bc
• (A  B)c = Ac Bc
• Vertetojme se
• (A  B)c = Ac Bc
Vertetimi

x(AB)c  xAB

 xA  xB

 xAc  xBc

 xAcBc

 (AB)c  AcBc

()

xAcBc  xAc  xBc

 xA  xB

 xAB

 x(AB)c

 AcBc  (AB)c

()

()  ()  (AB)c = AcBc

Detyra lidhur me bashkesite
• Detyrat per ushtrime nga bashkesite jepen ne pjesen e veqante te pergatitura ne Word.
• Me emrin
• Ushtrimet nga Bashkesite