一、二维随机向量的数学期望与方差

一、二维随机向量的数学期望与方差 定理: 设g(X,Y) 是随机向量(X,Y)的函数,则其数学期望(1)若(X,Y) ～ P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … , 则Z=g(X,Y)的期望 (2)若(X, Y) ~f (x, y), -<x<, -<y<, 则Z=g(X, Y)的期望

特别,当g(X)=X,X2,Y,Y2,XY时,

二、数学期望与方差的性质 性质1.设随机变量X与Y的数学期望都存在，则E(X±Y)=E(X)±E(Y);

性质2. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明:

性质3. 若X与Y独立，X与Y的方差都存在，则D(X±Y)=D(X)+D(Y). 证明： X与Y独立

Y -1 0 1 X -1 1 0.3 0 0.3 0.1 0.2 0.1 注意：性质2与性质3是说：在独立的条件下一定有： E(XY)=E(X)E(Y)，D(X±Y)=D(X)+D(Y) 这说明它是充分条件,而不是必要条件.即:当X与Y不独立时,这两个表达式也有可能成立. 例：二维随机向量（X，Y）的联合分布律为判断: (1)X与Y是否相互独立; (2)E(XY)与E(X)E(Y)是否相等?

例:设随机变量X在[0,1]上服从均匀分布,随机变量Y在[1,3]上服从均匀分布,且X与Y相互独立.求E(XY)及D(XY)例:设随机变量X在[0,1]上服从均匀分布,随机变量Y在[1,3]上服从均匀分布,且X与Y相互独立.求E(XY)及D(XY) 注意:虽然X与Y相互独立,但:D(XY) ≠D(X) D(Y)

二、随机变量的协方差与相关系数 协方差定义：若随机变量 X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 COV(X, Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}. 为X与Y的协方差, 从协方差的定义可以看出:X与Y的协方差就是X的离差XE(X)与Y的离差YE(Y)乘积的数学期望.协方差COV(X, Y)可以为正值、负值或0. 易见 : COV(X, Y)=E(XY）－E(X)E(Y).

定义:当COV(X,Y)=0时，即E(XY)=E(X)E(Y) 称X与Y不相关。 “X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？定理:若随机变量X与Y相互独立,则X与Y不相关.反之,不成立.

例:设随机变量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2), (2,0),(0,2)四个点.试判断:X与Y是否相互独立;X与Y是否线性相关.

2.协方差性质 (1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为常数； (4) COV(X+Y,Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); 定理:若随机变量X与Y的数学期望与方差都存在,则:D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2COV(X, Y).

二.相关系数 定义若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在, 且DX>0,DY>0，则称为X与Y的相关系数. 注：若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且

2.相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1； (3) X与Y不相关 XY=0; XY反映了随机变量X与Y之间的线性相关程度 XY=0,称为X与Y不相关; XY=±1, X与Y完全相关; XY>0,说明X与Y正相关; XY<0,说明X与Y负相关.一般, |XY|较大时,我们认为X与Y线性相关的程度较强; |XY|较小时,我们认为X与Y线性相关的程度较弱.

例:已知随机变量Z服从[0,2π]上的均匀分布,且X=sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数.求X与Y的相关系数.例:已知随机变量Z服从[0,2π]上的均匀分布,且X=sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数.求X与Y的相关系数.

该例说明:(1)相关系数等于零的两个随机变量不一定是独立的;该例说明:(1)相关系数等于零的两个随机变量不一定是独立的; (2)X与Y不相关是指X与Y之间没有线性相关关系,但并不排除X与Y之间有其它形式的相关关系。如本例:X与Y之间满足:X2+Y2=1

如何完整地描述随机向量的数字特征: 期望向量: 协方差矩阵: 可以推广到一般n维随机向量的期望向量和协方差矩阵的概念。此外，还有相关系数矩阵R。

§3.3 二维正态分布 1.定义:若二维随机变量(X, Y)的密度函数为其中，1、2为实数，1>0、2>0、| |<1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为

二、边缘密度函数 因此，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。所以，二维正态分布的5个参数的概率意义至此有4个是明确的。除了受这4个参数的影响以外，还受到另一个参数的影响，ρ就是描述X与Y之间相关关系的一个数字特征

三、相关系数 这说明二维正态分布的参数ρ恰好是随机变量X与Y的相关系数。对于二维随机向量（X,Y）,一般说“X与Y不相关”和“X与Y独立”不等价.但对二元正态分布而言,这两个概念是等价的.

定理:若（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。 即:X与Y相互独立.

即: ρ =0，X与Y不相关. 从以上内容可以看出，对于不相关的两个正态随机变量X与Y，不仅联合分布可以确定边缘分布，而且边缘分布也唯一地确定联合分布。这是一般分布所不具备的性质。幻灯片 18

一、二维随机向量的数学期望与方差

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