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工科数学

工科数学. 主讲教师：肖萍. 第三讲 曲线积分与曲面积分. 曲线积分的概念与计算 曲面积分的概念与计算. 一、 曲线积分的概念与计算. 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式 曲线积分与路径无关的条件. §1 对弧长的曲线积分. 设 L 为 xOy 平面上一条可求长光滑曲线弧, f ( x , y ) 在 L 上有界,称极限. 1. 定义. 为 f ( x , y ) 在 L 上的对弧长的曲线积分, 亦称第 I 型的曲线积分.记为. 其物理意义为：若 f ( x , y ) 为线密度，则 L 的质量. . .

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Presentation Transcript

  1. 工科数学 主讲教师：肖萍

  2. 第三讲曲线积分与曲面积分 • 曲线积分的概念与计算 • 曲面积分的概念与计算

  3. 一、曲线积分的概念与计算 • 对弧长的曲线积分 • 对坐标的曲线积分 • 格林公式 • 曲线积分与路径无关的条件

  4. §1 对弧长的曲线积分 设L为xOy平面上一条可求长光滑曲线弧, f (x,y)在L上有界,称极限 1. 定义 为f (x, y)在L上的对弧长的曲线积分, 亦称第I型的曲线积分.记为 其物理意义为：若f (x, y)为线密度，则L的质量

  5.  类似地, f (x,y,z)在空间曲线上 的曲线积分为： 性质: (2) 若L1=L1+L2,则

  6. 2. 计算 x =  (t) (1) 设L: ≤ t≤ y =  (t) 这时 故有 ( < )

  7. x=x (2) 设L: a≤x≤b y=y(x) 这时 故有 (3) 设L: x=x(y) c≤y≤d y=y 这时 故有

  8. (4) 设：x=(t), y=(t), z=(t), ≤t≤ 则 注意：化对弧长的曲线积分为定积分时，上限 一定大于下限。

  9. 例1. 其中L为 圆周x=acost, y=asint (0≤t≤ 2) 解:

  10. 例2. 计算 其中L为y=x2上 点(0, 0)与B(1, 1)之间的一段弧. 解：L: y=x2, 0 ≤x≤ 1

  11. §2. 对坐标的曲线积分 设L为xOy平面内一条光滑的有向曲线弧，P(x, y), Q(x, y)在L上有界，称极限 1. 定义 为P(x, y)在L上对坐标x的曲线积分，称极限 为Q(x, y)在L上对坐标y的曲线积分， 分别记为 上述积分亦称为第II型曲线积分

  12. 类似地, 可定义P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在空间曲线对坐标的曲线积分为： 性质：(1)L＝L1+L2 (2)记–L与L方向相反

  13. 2. 计算 x =  (t) y =  (t) (1) L: 起点 t = , 终点 t =  则 下限: 起点t=  ,上限:终点 t = 

  14. x = x (2) L: y = y (x) 起点 x = a , 终点 x = b . 则 (3) L: x = x(y) 起点 y = c , 终点 y = d y = y 则

  15. (4) : x =  (t) , y =  (t), z =  (t) 起点 t = , 终点 t = 

  16. y x a 0 – a 例3. 计算 其中L为 (1)半径为a, 圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周 (2)从点A(a, 0)沿 x 轴到点B(a, 0)的直线段 解: (1) L: x = acos, y= asin, 起点= 0, 终点=

  17. y x – a a 0 (2) L: y = 0. 起点 x = a , 终点 x = a .

  18. L1: y = , 起点 x = 1, 终点 x = 0 L2: y =  , 起点 x = 0, 终点 x = 1 (2) 直线段AB A 1 L1 1 0 L2 B 1 例4. 计算 , 其中L为 (1) 抛物线 y2 = x上从点A(1, 1)到点 B(1,1)的一段弧 解: (1) 将积分化为对x的定积分 L = L1 + L2

  19. A 1 1 0 B 1 若将积分化为对 y 的定积分: L: x = y2, 起点 y = 1, 终点y = 1

  20. A 1 (2) AB: x = 1 起点 y = 1, 终点 y = 1 1 0 B 1

  21. y L   x o 3. 对弧长曲线积分和对坐标曲线 积分之间的联系 其中,  分别为L上点(x, y)处切向量的方向角

  22. D D D D §3. 格林公式 定理. 设闭域D由分段光滑曲线围成. P(x, y)和 Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则 • 格林公式 其中D取正向. 对于平面区域D, 规定D的正方向为沿D而始终保持D在左侧的绕行方向.

  23. y D x a 0 例5. 计算 解： 由格林公式：

  24. y B ABO+OA=ABOA D A x 0 2 4 例6. 解： 由格林公式，记 有

  25. 而 y=0， 0≤x≤4， 故

  26. 利用Green公式，还可以计算有界平面区域D的面积。事实上，利用Green公式，还可以计算有界平面区域D的面积。事实上， 故D的面积

  27. 例7. 利用II型曲线积分计算椭圆 解： 椭圆的参数方程为

  28. B L2 L1 D A §4.曲线积分与路径无 关的条件 若对指定的两点A，B以及从点A到点B的任意两条曲线L1和L2，恒有 则称此曲线积分与路径无关.

  29. 定理2设DR2为有界单连域，若P(x,y)和Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价：定理2设DR2为有界单连域，若P(x,y)和Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价： (2) 在D内存在一个函数u(x,y),使 (4) 对D内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线C有

  30. y C 0 x 例8. 证明：对任一光滑的简单 闭曲线C，有 证： 因为 P=2xy，Q=x2，有 所以

  31. y L x A 0 例9. 计算 上由点 其中L为 O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧. 解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y),有 所以此曲线积分与路径无关， 取 ：y=0 0≤x≤2

  32. 所以 若对点A，B,曲线积分与路径无关，则此积分可记为

  33. 二、曲面积分的概念与计算 • 曲面的侧与有向曲面 • 对面积的曲面积分 • 对坐标曲面积分 • 两类曲面积分的关系 • 高斯公式 • 斯托克斯公式

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