havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1

1. havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1

2. Telproblemen overzichtelijk weergeven. • Boomdiagram. • Wegendiagram. • Rooster maken. • Alle mogelijkheden systematisch uit schrijven. Hoe maak je een boomdiagram ? • Zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt. • Zet de keuzemogelijkheden langs de takken. • Zet de volgorde achter de laatste takken. 1.1

3. 1e set 2e set 3e set v.b. Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets. N-N N wint N wint N-G-N N wint G wint N-G-G N-G-G G wint geef aan hoe G in 3 sets wint N wint G-N-N N wint G wint G-N-G G-N-G G wint G wint G-G 1.1

4. Wegendiagram kip soep ham ijs ∙ ∙ ∙ ∙ pizza cocktail meloen schnitzel 1.1

5. Rooster maken Je gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster. • som • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 1.1

6. Systematisch de mogelijkheden noteren. Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien. 1112 1121 1211 2111 1.1

7. Halve competitie Je speelt maar 1x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden. Hele competitie Je speelt 2x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 = 12 wedstrijden. Je speelt niet tegen jezelf. • A • B • C • D • A • B • C • D • A • X • A-B • A-C • A-D • A • X • A-B • A-C • A-D • B • X • X • B-C • B-D • B • B-A • X • B-C • B-D • C • X • X • X • C-D • C • C-A • C-B • X • C-D • D • X • X • X • X • D • D-A • D-B • D-C • X 6 wedstrijden 12 wedstrijden 1.1

8. Wegendiagram kip soep ham ijs ∙ ∙ ∙ ∙ pizza cocktail meloen schnitzel 2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden vermenigvuldigingsregel x 2 x 4 2 = 16 1.2

9. De vermenigvuldigingsregel • Een gecombineerde handeling die bestaat uit : • handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd • en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd • en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd • kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd. De vermenigvuldigingsregel of de somregel • Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren, • dan kan : • handeling I EN handeling II op p x q manieren. • handeling I OF handeling II op p + q manieren. 1.2

10. Zonder herhaling • Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris • het aantal manieren is • aantal = 5 x 4 = 20 eerst de voorzitter : keuze uit 5 personen dan de secretaris : keuze uit 4 personen 1.2

11. Met herhaling • In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, • hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. • Het aantal mogelijke nummerborden is • aantal = 10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19.448.100 10 cijfers voor de eerste plaats 10 cijfers voor de tweede plaats 26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats 26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats enz. 1.2

12. Permutaties en faculteiten • Een ander woord voor rangschikking is permutatie • Het aantal permutaties van 3 uit 8, • dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, • is 8 · 7 · 6 • Het aantal permutaties van 4 uit 9 is • 9 · 8 · 7 · 6 • Het aantal permutaties van 9 uit 9 is • 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 • de notatie voor dit product is 9! (faculteit) • Het aantal permutaties van 9 dingen is 9! • Het aantal permutaties van n dingen, • dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! • n ! = n· (n -1) · (n -2) · (n -3) · …… · 4 · 3 · 2 · 1 GR het aantal permutaties van 6 uit 10 is optie nPr 10 nPr 6 = 151 200 1.3

13. Rangschikking • Beschouw de stripboeken als één groep • Je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1 groep stripboeken) die je op 4! manieren kunt rangschikken. • Binnen de groep van de stripboeken zijn er telkens 5! rangschikkingen. • In totaal heb je 4! · 5! rangschikkingen. • Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans • Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op : • 8! manieren op een boekenplank rangschikken. • 4! · 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan. • 2 · 5! · 3! manieren rangschikken als de stripboeken en ook de romans naast elkaar • moeten staan. 1.3

14. Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn • Het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn • (en de rest verschillend is) is • Zo kun je de letters van het woord ADRIANA op • manieren rangschikken. • De letters van het woord ALESSANRA kun je op • manieren rangschikken. n! p! 7! 3! 9! 3! · 2! 1.3

15. Combinaties • Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, • dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7. • Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als • spreek uit : ‘7 boven 4’ • Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te • kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten • is • Hetaantal combinaties van r uit n, ofwel het aantal manieren om r dingen te • kiezen uit n dingen zonder op de volgorde te letten, • is 7 4 7 4 n r 1.4

16. Combinaties vermenigvuldigen en optellen • Uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd • het aantal mogelijke comités met • 3 jongens is x = 29 920 • 3 jongens EN 2 meisjes, • dus VERMENIGVULDIGEN • Minstens 4 jongens is x + x = 9207 • 4 jongens OF 5 jongens, • dus OPTELLEN 2 van de 17 meisjes 3 van de 12 jongens 17 2 12 3 5 jongens + 0 meisjes 4 jongens + 1 meisje 12 5 17 0 17 1 12 4 1.4

17. Schema 1.4

18. Rijtjes bestaande uit A’s en B’s • Het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt : • Dus er zijn = = 165 manieren • Er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort. • Totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren • Het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is en ook • Het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211 114 117 114 117 1.5

19. Routes in een rooster C ∙ • Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B ? • Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande uit 1 N en 2 O’s • dat zijn = 3 mogelijkheden • Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s • dat zijn = 5 mogelijkheden • Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus • x = 3 x 5 = 15  Noord ∙ B 3 1 ∙ A  Oost 5 2 Van A naar B EN van B naar C dus vermenigvuldigen. 3 1 5 2 1.5

20. De driehoek van Pascal • In de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan. • Elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen. • In de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen • De som van de getallen in de vierde rij is 24 4 1 4 3 4 0 4 2 4 4 , , , en 1 = 20 rij 0 1 rij 1 1 1 2 = 21 rij 2 4 = 22 1 2 1 rij 3 1 3 3 1 8 = 23 rij 4 1 4 6 4 1 16 = 24 1.5

21. 1.5

22. Het binomium van Newton 1.5