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ロバスト制御とその新解法： 確率的解法と確定的解法

SICE システム工学部会研究会. ロバスト制御とその新解法： 確率的解法と確定的解法. 東京大学数理情報学専攻　大石泰章 http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~oishi/ 2006 年 1 月 18 日. 参考：数理計画法アプローチで新地平を拓く制御理論，計測と制御， 2005 年 8 月号．. 目次. １．なぜロバスト性か タワークレーン マイクロフォンアレイ ２．最適化とロバスト最適化 ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 （１）確定的方法 （２）確率的方法 ４．展望とまとめ. １．なぜロバスト性か.

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ロバスト制御とその新解法： 確率的解法と確定的解法

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  1. SICEシステム工学部会研究会 ロバスト制御とその新解法：確率的解法と確定的解法 東京大学数理情報学専攻　大石泰章 http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~oishi/ 2006年1月18日 参考：数理計画法アプローチで新地平を拓く制御理論，計測と制御，2005年8月号．

  2. 目次 • １．なぜロバスト性か • タワークレーン • マイクロフォンアレイ • ２．最適化とロバスト最適化 • ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 • （１）確定的方法 • （２）確率的方法 • ４．展望とまとめ

  3. １．なぜロバスト性か タワークレーンの振動抑制制御

  4. 状態フィードバックで安定化 → 最適化に基づく設計 • モデル化［高木・西村 98］

  5. ロバストな設計 • パラメータが変わると…

  6. 周波数固定 マイクロフォン ゲイン マイクロフォンアレイの設計 音波

  7. cf. [Ben-Tal & Nemirovski 02] • ロバストな設計 • 結果

  8. 現実の対象 抽象的方法論 タワークレーン 最適化 マイクロフォンアレイ 最適解 • 不確かさ • パラメータの変化，実装時の誤差，環境の変化， • 経年変化，モデル化誤差，… どうするか？ • 対象固有の解決法 • 方法論を拡充 → ロバスト最適化 ここまでのまとめ

  9. 目次 • １．なぜロバスト性か • ２．最適化とロバスト最適化 • ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 • （１）確定的方法 • （２）確率的方法 • ４．展望とまとめ

  10. ２．最適化とロバスト最適化 タワークレーン

  11. 制御対象 設計 • 最適化問題 １次関数 • 最適化アプローチ • 極配置 最適化に基づく設計[Boyd et al. 94]

  12. 問題点

  13. ロバスト最適化[Ben-Tal & Nemirovski 02]

  14. 従来法：非線形構造を無視 問題点 • 本発表：非線形構造を考えたロバスト最適化

  15. ゲイン [Ben-Tal & Nemirovski 01] マイクロフォンアレイ • 最適化に基づく設計 • ロバスト最適化

  16. 目次 • １．なぜロバスト性か • ２．最適化とロバスト最適化 • ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 • （１）確定的方法 • （２）確率的方法 • ４．展望とまとめ

  17. 多項式 1次 ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 • 一般化

  18. [佐々木・小原・増淵 01] [Scherer 05] [Scherer & Hol 05] 近似最小値 • 近似誤差の評価なし 真の最小値 [江本・大石 05] [Oishi 05] 十分条件 • 近似誤差の評価あり • 計算量逓減 3.1. 確定的方法 概要 • 条件を十分条件で置き換える • ギャップ小 → 良い近似

  19. 十分条件の構成

  20. 近似最小値 真の最小値 十分条件 • 十分条件なので近似最小値 • 分割細かく → 近似誤差小 どのくらい？ cf.代数的方法

  21. 有効な制約 • 最大有効半径 定理１ 適当な仮定のもとで • 最大有効半径小 → 近似誤差小 • 効率的な分割法 • 大切な領域がわかる cf.代数的方法

  22. 問題点

  23. 目次 • １．なぜロバスト性か • ２．最適化とロバスト最適化 • ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 • （１）確定的方法 • （２）確率的方法 • ４．展望とまとめ

  24. 置き換える ランダム抽出 • 基本原理[Polyak & Tempo 01][Calafiore & Polyak 01] • 停止則導入[Oishi 04] 3.2. 確率的方法 概要 • ランダム抽出の利用 最適解の質の評価が本質的

  25. → 何が言える？ 基礎技術： • もし

  26. 算法（概略のみ） • 適当な停止則

  27. 定理２ • 解の質は確率的 • 終了することを保証 • 計算量を評価 cf.確定的方法

  28. 目次 • １．なぜロバスト性か • ２．最適化とロバスト最適化 • ３．非線形構造を考えたロバスト最適化 • （１）確定的方法 • （２）確率的方法 • ４．展望とまとめ

  29. 展望：非線形最適化

  30. まとめ • ロバストな設計の必要性 • ロバスト最適化 • 確定的方法 • 十分条件で置換（内側から近似） • 解は確定的 • 計算量大 • 確率的方法 • 必要条件で置換（外側から近似） • 解は確率的 • 計算量小

  31. 参考文献 A. Ben-Tal and A. Nemirovski, Lectures on Modern Convex Optimization: Analysis, Algorithms, and Engineering Applications. Philadelphia, USA: SIAM, 2001. A. Ben-Tal and A. Nemirovski, “Robust optimization: methodology and applications,” Mathematical Programming, ser. B, vol. 92, pp. 453-480, 2002. S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia, USA: SIAM, 1994. G. Calafiore and B. T. Polyak, “Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs,” IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, no. 11, pp. 1755-1759, 2001. 江本・大石，“有理式で表される不確かさを持つ制御系の解析と設計法,” 計測自動制御学会論文集，vol. 41, no. 4, pp. 314-321, 2005. Y. Oishi, “Implementation of a randomized algorithm for solving parameter-dependent linear matrix inequalities,” in Proceedings of the 2004 IEEE Conference on Control Applications, Taipei, Taiwan, September 2004, pp. 1183-1188.

  32. Y. Oishi, “A region-dividing approach to robust semidefinite programming and its error bound,” 第34回計測自動制御学会制御理論シンポジウム予稿集，大阪，2005年10-11月，pp. 317-324. B. T. Polyak and R. Tempo, “Probabilistic robust design with linear quadratic regulators,” Systems & Control Letters, vol. 43, no. 5, pp. 343-353, 2001. 佐々木・小原・増淵，“多次元パラメータ依存行列不等式の可解性と数値解について,” 第30回計測自動制御学会制御理論シンポジウム予稿集，別府，2001年11月，pp. 133-136. C. W. Scherer, “Relaxations for robust linear matrix inequality problems with verifications for exactness,” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 27, no. 2, pp. 365-395, 2005. C. W. Scherer and C. W. J. Hol, “Matrix sum-of-squares relaxations for robust semidefinite programs,” Mathematical Programming, accepted for publication. 高木・西村, “タワークレーンの吊り荷ロープ長変動を考慮したゲインスケジュールド制御,”日本機械学会論文集 (C編), vol. 64, no. 626, pp. 3805-3812, 1998.

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