GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

1. GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL LINEA DE INVESTIGACION EN CONTROL DE PROCESOS Profesores: Edinson Franco Mejía y Jesús A. González http://eiee.univalle.edu.co/~gici

2. Por que identificar?

3. Un modelo representa tres tipos de conocimiento • Estructura (Ecuaciones, diagramas de bloque o de flujo, conexión de matrices, etc.) • Valores de parámetros • Valores de los estados en cierto instante o como funciones de tiempo. http://eiee.univalle.edu.co/~gici

4. Esquemageneralde laidentificación Entradas Salidas PROCESO Algoritmo de Identificación Modelo Matemático

5. Elementos de la Identificación • Experimento • Clases de modelos • Criterios

6. Representaciones • No Paramétricas ej. : respuesta al impulso, respuesta de frecuencia, respuesta al escalón. • Paramétricas ej. : función de transferencia, ecuación diferencial o ecuación de diferencias.

7. Metodología de la Identificación • Planificación experimental • Selección de la estructura de modelos • Formulación de un criterio • Estimación de parámetros • Validación del modelo obtenido

8. Metodología de la Identificación

9. Preparación del experimento Protocolo de la toma de datos : • la entrada debe reunir las siguientes características: • Tener un valor DC conocido para ubicar el proceso en un • adecuado punto de funcionamiento. • Ser limitada en amplitud, para no sacar el proceso de su • punto de funcionamiento. • Ser rica en contenido frecuencial.

10. Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA). La longitud máxima de una secuencia es 2N-1

11. Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).

12. Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA). La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.

13. (SBPA) Amplitud de la secuencia La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.

14. (SBPA) Frecuencia de la secuencia Para fines prácticos se selecciona como frecuencia de reloj para la SBPA. un múltiplo de la frecuencia de muestreo Se recomienda escoger .

15. (SBPA) Longitud de la toma de datos • Se recomienda que sea tal que se pueda: • Realizar una identificación básica con la primera tercera parte de los datos. • Con el segundo tercio, realizar la identificación. • Con la última parte realizar una validación de la identificación.

16. Preprocesamiento básicode los datos • Se debe remover las tendencias de la señal. • Si la toma de datos fue realizada a un alta rata de muestreo, hay que considerar la posibilidad de hacer un filtrado de los datos, considerese que puede haber efectos de solapamiento de datos. Lo mas complicado es detectar si existen señales de ruido indeseables que deban ser filtradas en el preprocesamiento.

17. IDENTIFICACION OFF-LINE ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE UN MODELO EN TIEMPO DISCRETO A PARTIR DE DATOS DE ENTRADA-SALIDA LIBRES DE RUIDO

18. IDENTIFICACION OFF-LINE

19. IDENTIFICACION OFF-LINE

20. IDENTIFICACION OFF-LINE p : Número de datos o muestras tomadas Para realizar la estimación se debe coleccionar p=m+n+1 datos y se debe cumplir que det[A’k] diferente de cero

21. Representación de Sistemas Dinámicos en el dominio del tiempo Esquema General para sistemas LTI Caso general

22. Representación de Sistemas LTI Donde

23. Modelo FIR (Respuesta al impulso Finita) Donde: G(q)=B(q) y Representación...-casos particulares- Estructuras

24. Modelo OE (Output Error) Donde: G(q)=B(q)/F(q) y Representación...-casos particulares- Estructuras

25. Modelo BJ (Box Jenkins) Donde: y (no tienen parámetros comunes) Representación...-casos particulares- Estructuras

26. Modelo ARMAX (Auto Regressive Moving Average) Donde: Representación...-casos particulares- Estructuras

27. Representación...-casos particulares- Estructuras Modelo ARX (AutoRegressive with eXternal input) Donde:

28. GICI El problema: Dado un conjunto de N pares de medidas de entrada salida, y dada la estructura del modelo, pero con parámetros desconocidos, se debe encontrar el que minimiza : IDENTIFICACION POR MINIMOS CUADRADOS Mínimos Cuadrados Lineales

29. GICI Mínimos Cuadrados Lineales Vector de parámetros estimados Modelo de regresión lineal para FIR y ARX Para modelos de regresión lineal El termino interno de la sumatoria La solución óptima

30. GICI Mínimos Cuadrados Lineales La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible

31. GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales Supongase un sistema real dado por: La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible

32. GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales Donde: Matriz de covarianza del vector de regresión d es la cantidad de parámetros a estimar R es una matriz de covarianza cuadrada dxd La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto la estructura del modelo

33. GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales Para estimación exacta debe cumplirse que: 1- sea una matriz invertible, esto se logra usando excitación u(k) con persistencia de orden n. 2- Para N Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes:

34. GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: • i) Si vo(k) es una secuencia de variables aleatorias inde- • pendientes con media cero, su valor no dependerá de lo • que pase antes del instante t = k. Y por tanto • ya que solo contiene información de u(l) y y(l) hasta el • instante .

35. GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: • ii) solo contenga valores de u(k), y(k) y vo(k) que seanestadísticamente independientes

36. GICI Mínimos Cuadrados Pseudo-Lineales Para el caso de las estructuras ARMAX, OE y BJ los modelos de regresión no son lineales en : • El cálculo de no puede hacerse derivando e igualando a cero a porque el vector de regresión • también es función de : La estimación se realiza mediante algoritmos de optimización basados en métodos numéricos

37. GICI Algritmo de los Mínimos Cuadrados y =(y1, ...., yN)T : conjunto de N medidas : valores calculados a partir de  mediante el modelo adoptado para el sistema. Problema: Determinar un vector  de “d” parámetros (constantes en el tiempo) utilizando una serie de N medidas yT = (y1, ...., yN) sobre la salida del sistema lineal estático: siendo M una matriz de N filas y “d” columnas.

38. GICI Solución de problemas: Algritmo de los Mínimos Cuadrados Caso 1: N = “d” Suponiendo que M es de rango completo, det [M]  0, el problema podría resolverse de forma inmediata: Caso 2: N  “d” En este caso no existe inversa

39. GICI • N<np • Existen más incógnitas que ecuaciones. hay infinitas soluciones, la solución es una variedad lineal. Sin embargo, seleccionando la estimación: • M* : "matriz inversa generalizada”. • La solución obtenida es la de la mínima norma, que verifica la relación: • siendo 1 cualquier otra solución.

40. GICI • Si las N filas de M son linealmente independientes • (matriz M de rango máximo), la estimación será: • En donde M*D se denomina inversa generalizada por • la derecha, ya que verifica: • MM*D = I

41. GICI • N > np • En este caso se tienen más ecuaciones que incógnitas. • En general, no existe solución. Se demuestra que si M • es de rango máximo, el método de los mínimos cuadra • dos puede utilizarse para encontrar la solución. • Se trata de obtener la estimación que minimiza el índice:

42. GICI M*I se denomina inversa generalizada por la izquierda M*IM = I

43. GICI Caso hipotético: Considérese el sistema monovariable en tiempo discreto: y(k) + a1 y(k-1) + ... + an y(k-n) = b1 u(k-1) + ... + bn u(k-n) y el vector de medidas: m(k) = [ - y(k-1), ... , - y (k-n), u(k-1), ... , u(k-n)]

44. GICI El error de predicción de salida puede escribirse como: e(k) = y(k) - m(k) donde m(k) es la predicción de la salida en el instante k Coleccionando datos desde k = n hasta N E(N) = Y(N) - M(N) 

45. GICI Sea la ecuación después de N observaciones Y(N) = M(N) ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS

46. GICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS La estimación resultante es: Definiendo la matriz

47. GICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS De donde: luego con

48. GICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS Comienzo Seleccione los valores de P y ; haga N=0 Mientras no se cumpla condición de fin de hacer Comienzo leer nuevas medidas en N+1; formar m con nuevas medidas; calcular ganancia mediante K P*mT*(I+m*P*mT)-1; actualizar estimación mediante  +K*(y-m* ); actualizar matriz P mediante P P-K*m*P; hacer N N+1 fin fin

49. GICI Herramientas para Identificacion El SITB de Matlab

50. Funciones para Simulacion y prediccion • IDINPUT: Genera los datos de entrada para propósitos de simulación. • IDSIM: Simula un sistema lineal general • PREDICT: Calcula las predicciones de la salida del modelo GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.