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統計学 11/08 (木)

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Presentation Transcript

  1. 統計学11/08(木) 鈴木智也

  2. 今日の講義 第1部 記述統計:データの特性を記述 第2部 確率論:推測統計への橋渡し 確率論入門 確率変数と確率分布 ←ここ! 第3部 推測統計:データから全体像を推測

  3. 復習:確率とは • ある事象が起こるか否か分らない時、その結果が起こる可能性を示す測度のこと。 事象 Aの確率を P(A)と表すとすると、 ①確率 P(A) は必ず非負である: P(A)≥0 ②必ず起こる事象の確率は1である。 例:サイコロを振って3の目が出る確率は? ⇒目の出方は6通り。3の目が出るのは、そのうちの一つ。⇒1/6の確率。

  4. キーワード①:確率変数とは • 取り得る値(実現値)が複数あり、それぞれの値を取る確率が決まっている変数。 例:サイコロを振って出る目の数値(X) 実現値(xi):1,2,3,4,5,6 どの値を取る確率も1/6。 ☆確率変数 X が xi という値を取る確率をP(X=xi) または、単に P(xi) と表記する。

  5. キーワード②:確率分布とは • 確率変数 Xが取り得る全ての実現値について、対応する確率の散らばりのこと。 • それを表すものが、確率分布表。 (例)サイコロで出る目の値の確率分布表

  6. 確率変数を記述する① ☆平均値(「期待値」と呼ぶ) 確率変数 Xが、平均して、どの位の値を取るものと期待できるだろうか? ↑確率で加重して平均を取っている。 注: E は期待(Expectation)を意味する。

  7. 確率変数を記述する② ☆分散 確率変数 Xの実現値の散らばり具合を表す。 ↑ここでも、確率で加重している。 注: Vは分散(Variance)を表す。

  8. 確率変数を記述する③ ☆標準偏差 注)表記上の慣習(ギリシャ文字) • μ(ミュー小):アルファベットのmに対応 ⇒平均(mean)を表す。 • σ(シグマ小):アルファベットのsに対応 ⇒標準偏差(standard deviation)を表す。

  9. 経済分析での確率変数の例 • 株式投資の収益率 株価は変動する⇒投資収益率は確率変数 Q:もし投資収益率の確率分布が次のようならば、収益率の期待値はいくつ? ⇒確率分布が未知の時は、データから相対頻度を算出し、それで代用する。

  10. 連続型確率変数 • ここまでの確率変数 Xはとびとびの値だけを取り得ると仮定した。←離散型確率変数 • しかし、ある範囲内でどんな値でも取り得る確率変数もある。←連続型確率変数 Q:連続型確率変数の例を考えてみよう。

  11. 連続型と離散型の違い ☆離散型の場合 ・X の取る値自体に確率が対応。 ・確率関数 P(X=xi) を定義できる。 ☆連続型の場合 ・X の取り得る値は無限にあり、一点の値について確率が0ではないとすると、「確率の総和が1である」という公理に矛盾。⇒『範囲』について、確率を考える。

  12. 連続型確率変数の場合の確率 • 連続型確率変数の場合、確率密度関数を導入する: f(x) • Xが aから bまでの値を取る確率は、 • 注:積分(∫)は総和(∑)に対応している。 Q:図示して考えてみよ。

  13. 連続型確率変数の記述 Xが -∞ から ∞ までの値を取るならば、 ☆平均(「期待値」と呼ぶ) ☆分散 ☆標準偏差

  14. 代表的な確率分布(正規分布) ☆正規分布 (Normal Distribution) ・正規分布は、平均値μと分散σ2によって完全に決定される:N(μ, σ2)と表記する。 ・確率密度関数は(覚えなくてもよいが) ・図示すると、釣鐘型をしていて、平均値に関して左右対称である。

  15. 標準正規分布 ・N(μ, σ2) に従う変数 Xは、N(0, 1)に従う標準化変量 Z=(X-μ)/σに変換できる。 ・N(0, 1)の分布を「標準正規分布」と呼ぶ。 重要:正規分布は統計学で最も基本的な確率分布であり、この講義後半で集中的に使う t-分布も正規分布の派生である。

  16. 正規分布の重要な性質 • 確率変数XがN(μ,σ2)に従うとき、 ☆P(μ-1.96σ≦X≦μ+1.96σ)=0.95 ⇒Xは95%の確率で、平均値から±1.96σの範囲内に収まる値を取る。 (類) P (μ-2σ≦X≦μ+2σ)=0.954 (類) P( μ-σ≦X≦μ+σ)=0.68