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[ 선형대수 : Matlab ] Ch ap 9: Matrix Algebra

Applied Force. F = 200 lbf. 20 feet. θ = 60 0. Pivot Point. 최 윤 정. [ 선형대수 : Matlab ] Ch ap 9: Matrix Algebra. 학습내용. 행렬의 기본연산 형렬 연산을 이용하여 연립방정식 풀이 방법 특수행렬을 사용하여 적용하기. The difference between an array and a matrix. Most engineers use the two terms interchangeably

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Presentation Transcript

  1. Applied Force F = 200 lbf 20 feet θ = 600 Pivot Point 최 윤 정 [선형대수:Matlab]Chap 9: Matrix Algebra

  2. 학습내용 • 행렬의 기본연산 • 형렬 연산을 이용하여 연립방정식 풀이 방법 • 특수행렬을 사용하여 적용하기

  3. The difference between an array and a matrix • Most engineers use the two terms interchangeably • Technical definition • Array:an orderly grouping of information • Arrays can contain numeric information, but they can also contain character data, symbolic data etc. • Matrix : a two-dimensional numeric array used in linear algebra • Not even all numeric arrays can precisely be called matrices • used extensively in engineering applications • Matrix algebra is different from the array calculations (only those upon which you intend to perform linear transformations meet the strict definition of a matrix. The only time you need to be concerned about the difference is when you perform matrix algebra calculations) MATLAB for Engineers

  4. Array & Matrix Operation 행렬연산 같은위치의 원소끼리의 계산에 사용 • Transpose(전치) • Multiplication(행렬곱셈) • Division(행렬나눗셈) • Exponentiation(행렬거듭제곱) • Left Division(왼쪽나눗셈) • Dot products : dot(X,Y) ==X.*Y • Cross products • Inverse(역행렬) • Determinants(행렬식) MATLAB for Engineers

  5. Transpose • In mathematics Texts : AT • The MATLAB syntax for the transpose : A' MATLAB for Engineers

  6. Using the transpose with complex numbers 복소수에 적용하면 켤레 복소수값이 반환된다. MATLAB for Engineers

  7. * * * || || || + + Dot Products • 같은 위치 원소끼리의 곱 Equivalent statements MATLAB for Engineers

  8. Example 9.1 우주선의 무게중심 구하기 • 문제분석 1: • 무게중심을 찾아내는 일은 공학적으로도 매우 중요한 일이다. • 우주선이 안정된 비행을 하기 위해서는 압력중심의 위치가 무게중심보다 뒤에 있어야 한다. (그림 9.2) • 무게계산을 위해, 총질량 뿐 아니라 개별부품의 질량정보와 부착위지도 정확히 알아야 한다. • 무게중심을 계산하는 식은 간단하지만, 우주선의 경우, 연료가 연소하면서 질량과질량의 분포가 모두 변하므로 비행하는 우주선에서 무게중심의 위치를 구하는 것은 ..매우..복잡한 일.! • 우주선에서 무게중심의 위치를 구하기 위해서는 여러 구성부품으로 나누어 논 후 계산하여야 한다. MATLAB for Engineers

  9. 문제분석 2 : 부품들의 구성 • 부품들의 질량 : W 부품들의 부착위치 : 직각좌표계에서의x-y-z의 좌표 • : 무게중심이 위치하는 x, y, z의 좌표 • x1, x2, x3 ..:: 각각 부품1, 부품2, 부품3..의 x좌표 • y1, y2, y3 … : 각각 부품1, 부품2, 부품3..의 y좌표 • z1, z2, z3 … : 각각 부품1, 부품2, 부품3..의 z좌표 • W1,W2,W3… : 각각 부품1, 부품2, 부품3..의 질량 MATLAB for Engineers

  10. 적용하기 : 부품들의 구성은 가정 • Input: x,y,z좌표로 주어지는 각 부품의 위치와 질량 • Output: 우주선의 무게중심의 위치 • 무게중심 위치의 X좌표를 구하는 식 : 각 부품위치 * 부품질량 / 총 질량 dot product! 각부품별 위치와 질량 각부품별X위치 : X_Bar MATLAB for Engineers

  11. Matlab으로 풀기 ver1: dot product MATLAB for Engineers

  12. 결과검토를 위해 그래프도 그리자 • Plot3(x,y,z, ‘o’, x_ar, y_bar, z_bar, ‘s’) • Grid on • xlabel(‘x-axis’) • ylabel(‘y-axis’) • zlabel(‘z-axis’) • Title(‘부품과무게중심의 위치’); MATLAB for Engineers

  13. Matrix Multiplication • 행렬 A와행렬 B의 곱 : • A의 각 행과 B의 각 열끼리의 dot product.! 의 반복. MATLAB for Engineers

  14. Matlab으로 풀기 ver2: matrix multiplication [3*4] X [4*1] = [3*1] MATLAB for Engineers

  15. Matrix Power : 거듭제곱 • 같은 행렬을 여러 번 곱한다. • 따라서, 정사각행렬일 경우에만 가능하다.! • A2 is the same as A*A • A3 is the same as A*A*A MATLAB for Engineers

  16. Matrix Inverse : 역행렬 • 역행렬 함수 호출 : inv(A) • 행렬의 -1 제곱하기 : A^-1 MATLAB for Engineers

  17. Determinant(행렬식) • 역행렬을구할 수 없는 행렬도 있다. • 특이행렬(singular matrix) • 나쁜조건 행렬(I11-conditioned matrix) • 따라서 모든 경우에 역행렬을 구해 문제를 풀 수는 없다. • 확인 : 행렬식을 계산한 결과가 0이면 역행렬을 갖지 않는다. • Det(A) • 계산방법은선형대수시간에 했어요. MATLAB for Engineers

  18. CrossProduct(가위곱, 벡터곱) • 두 벡터의 가위곱을 수행한 결과는 벡터. • 이 결과는 기하학적으로 두벡터가 만드는 평면과 항상 직각을 이룬다. • 직교성(Orthogonality) • 정역학(statics), 동역학(dynamics), 유체역학(fluid mechanics), 전기전자공학의 문제에 사용된다. • 벡터를 배우면서 다시 할께요. MATLAB for Engineers

  19. Matlab으로선형방정식 풀기 • 가우스-조던 소거법! – 장단점이 있어요. • 계수와 변수들을 행렬로 표기한 후 • AX = B의 형태로 AX=B MATLAB for Engineers

  20. 역행렬vs . 왼쪽나눗셈 가우스소거법을 사용하므로 계산도 효율적이고 반올림 오차도 적다. 이해하기는 쉽지만 비효율적.^ MATLAB for Engineers

  21. Special Matrices • Ones : 1행렬 • Zeros : 0 행렬 • Eye : 단위행렬 • I를 사용하지 않는 이유는 복소수의 허수를 나타내고 있는 i가 이미 있으므로. • 수치해석기법을 시험하거나 계산알고리즘에 이용되는 함수들 • Pascal , Magic, Rosser … • Gallery: 50종류 이상의 시험용 행렬을 만다는데 사용되는 함수들. • Help 해보세요. MATLAB for Engineers

  22. 파스칼삼각형과 이항정리 MATLAB for Engineers

  23. Summary • Matrix 연산과 array 연산은 다르다. • Dot product : 크기가 같은 두 array에서 대응하는 원소끼리의 곱들의 합.! • Dot(A,B) • Matrix 곱 : A의 각 행과 B의 각 열들의dot product. • 역행렬: inv(A), A^-1 • 행렬식 : det(A) MATLAB for Engineers

  24. Summary • 선형방정식에적용하기 • AX=B • 역행렬 이용하기 : X=inv(A) * B • 왼쪽나눗셈(가우스소거법) 이용하기 : X=A\B • 가우스-조던 소거법, 행렬식에 의한 풀이법의 장단점 찾아보세요. • 계수행렬과 상수행렬을 이용한 크래머 공식을 적용해보세요. • 9장 연습문제 해보세요. MATLAB for Engineers

  25. 과제 #4-3 • 9장 연습문제 : 문제는확대시켜 봅니다. • 9.4 ~ 9.7 • 9.8 • 9.9 • 9.18 • 9.21 MATLAB for Engineers

  26. 9장연습문제 MATLAB for Engineers

  27. MATLAB for Engineers

  28. MATLAB for Engineers

  29. MATLAB for Engineers

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