slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Πιθανοκρατικοί Αλγόριθμοι PowerPoint Presentation
Download Presentation
Πιθανοκρατικοί Αλγόριθμοι

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 27

Πιθανοκρατικοί Αλγόριθμοι - PowerPoint PPT Presentation


  • 68 Views
  • Uploaded on

Πιθανοκρατικοί Αλγόριθμοι. Ειδικά Θέματα Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Σπυριδούλα Γραβάνη 31/05/2012. Τι είναι πιθανοκρατικός αλγόριθμος; (1). Random numbers. Τι είναι πιθανοκρατικός αλγόριθμος; (2). Χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα μιας τυχαίας διεργασίας σε κάποια υπολογιστικά βήματα.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Πιθανοκρατικοί Αλγόριθμοι' - nell-downs


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Πιθανοκρατικοί Αλγόριθμοι

Ειδικά Θέματα Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας

Σπυριδούλα Γραβάνη

31/05/2012

slide2
Τι είναι πιθανοκρατικός αλγόριθμος; (1)

Random numbers

slide3
Τι είναι πιθανοκρατικός αλγόριθμος; (2)
  • Χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα μιας τυχαίας διεργασίας σε κάποια υπολογιστικά βήματα.
  • Η έξοδος αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή, δηλαδή μπορεί να διαφέρει σε διαφορετικές εκτελέσεις του αλγορίθμου πάνω στην ίδια είσοδο.
slide4
Γιατί; (1)
  • Ντετερμινιστικοί αλγόριθμοι για την επίλυση ενός προβλήματος βρίσκουν τη βέλτιστη λύση σε απαγορευτικά μεγάλο χρόνο.
  • Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι τερματίζουν σε μικρότερο χρόνο αλλά βρίσκουν υποβέλτιστη λύση.
slide5
Γιατί; (2)
  • Οι πιθανοκρατικοί αλγόριθμοι είναι αλγόριθμοι που τερματίζουν σε μικρό χρόνο με μεγάλη πιθανότητα.
  • Βρίσκουν τη βέλτιστη λύση με μεγάλη πιθανότητα.
  • Συνήθως είναι απλοί και εύκολοι στην υλοποίηση τους.
slide6
Προσοχή:
  • Δεν πρέπει να συγχέονται με την πιθανοτική ανάλυση του μέσου χρόνου εκτέλεσης ενός ντετερμινιστικού αλγόριθμου.
  • Στην περίπτωση αυτή η είσοδος προέρχεται από πιθανοτική κατανομή.
  • Στόχος είναι ο υπολογισμός του αναμενόμενου χρόνου εκτέλεσης.
slide7
Τύποι πιθανοκρατικών αλγορίθμων
  • Monte Carlo: Τερματίζει σε ντετερμινιστικό (πολυωνυμικό) χρόνο, πιθανώς με λανθασμένη έξοδο.
  • Las Vegas: Παράγει πάντοτε τη σωστή έξοδο. Ο χρόνος τερματισμού του ωστόσο αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή με φραγμένη αναμενόμενη τιμή.
slide8
Παράδειγμα: Τυχαίος Περίπατος (1)
  • Θεωρούμε τον εξής πιθανοκρατικό αλγόριθμο για το πρόβλημα SAT:

“Ξεκίνα με οποιαδήποτε τιμοδοσία Τ και επανέλαβε τα

επόμενα r φορές:

    • Αν επαληθεύονται όλες οι προτάσεις, τότε απάντησε: “ ο τύπος είναι αληθεύσιμος” και σταμάτα.
    • Αλλιώς, σε μια πρόταση που δεν επαληθεύεται, διάλεξε τυχαία μια από τις μεταβλητές τις και δώσε την αντίθετη τιμοδοσία σε αυτή.

Μετά από r φορές τερμάτισε , απαντώντας: “ ο τύπος δεν

ικανοποιείται με μεγάλη πιθανότητα”. ”

slide9
Παράδειγμα: Τυχαίος Περίπατος (2)
  • Θεωρούμε το πρόβλημα: 2-SAT =

{ <φ> | ο φ είναι ένας αληθεύσιμος τύπος σε 2CNF }

  • Θεώρημα:

Αν εφαρμόσουμε τον Τυχαίο Περίπατο για

βήματα σε οποιοδήποτε αληθές στιγμιότυπο του 2-SAT

με n μεταβλητές, τότε με πιθανότητα τουλάχιστον ίση με

½ θα προκύψει αληθής τιμοδοσία.

slide10
Μειονεκτήματα
  • Υπάρχει πεπερασμένη πιθανότητα λάθους. Αυτή η πιθανότητα ωστόσο , μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρή με επαναληπτική εκτέλεση της τυχαιότητας.
  • Δεν υπάρχει πραγματική τυχαιότητα αριθμών. Οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούν ψευδοτυχαίους αριθμούς , γι’αυτό και η έξοδός τους εξαρτάται από την ποιότητα της γεννήτριας.
  • Η ανάλυση του χρόνου εκτέλεσης, καθώς και της πιθανότητας σωστής εξόδου μπορεί να είναι δύσκολη.
slide11
Πιθανοκρατικές Κλάσεις Πολυπλοκότητας
turing 1
Πιθανοκρατική Μηχανή Turing (1)
  • Μη ντετερμινιστική μηχανή Turing στην οποία κάθε βήμα λέγεται κερματοριπτικό και έχει δύο αποδεκτές επόμενες κινήσεις.
  • Σε κάθε κλάδο b του υπολογισμού της για είσοδο w αποδίδουμε πιθανότητα:

όπου k: το πλήθος των κερματοριπτικών βημάτων κατά μήκος του b.

  • Πιθανότητα αποδοχής της w από τη μηχανή:
turing 2
Πιθανοκρατική Μηχανή Turing (2)
  • Πιθανότητα απόρριψης της w από τη μηχανή:
  • Για , η μηχανή διαγιγνώσκει τη γλώσσα L με πιθανότητα σφάλματος εόταν ισχύουν οι εξής συνθήκες:
  • Δηλαδή η πιθανότητα λάθους κατά την προσομοίωση της μηχανής δεν πρέπει να υπερβαίνει την ποσότητα ε.
rp randomized polynomial time
Κλάση RP(Randomized Polynomial Time)
  • Μια γλώσσα L ανήκει στην RP αν και μόνο αν υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου πιθανοκρατική μηχανή Turing Μ τέτοια ώστε για κάθε

να ισχύουν τα εξής:

  • Ένας RP αλγόριθμος είναι Monte Carlo.
  • Λάθος έξοδος μπορεί να προκύψει μόνο αν
  • Η πιθανότητα λάθους μπορεί να γίνει εκθετικά μικρή εκτελώντας ανεξάρτητες επαναλήψεις του αλγορίθμου.
slide15
Κλάση coRP
  • Συμπληρωματική κλάση της RP
  • Μια γλώσσα L ανήκει στην coRP αν και μόνο αν υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου πιθανοκρατική μηχανή Turing Μ τέτοια ώστε για κάθε

να ισχύουν τα εξής:

  • Ένας coRP αλγόριθμος είναι Monte Carlo.
  • Λάθος έξοδος μπορεί να προκύψει μόνο αν
zpp zero error probabilistic polynomial time
Κλάση ZPP(Zero Error Probabilistic Polynomial Time)
  • Μια γλώσσα L ανήκει στην κλάση ZPP αν και μόνο αν:
  • Ένα πρόβλημα που ανήκει στην κλάση ZPP έχει αλγόριθμο που δεν κάνει ποτέ λάθος, δηλαδή έναν αλγόριθμο Las Vegas.
pp probabilistic polynomial time
Κλάση PP(Probabilistic Polynomial Time)
  • Μια γλώσσα L ανήκει στην PP αν και μόνο αν υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου πιθανοκρατική μηχανή Turing Μ τέτοια ώστε για κάθε

να ισχύει το εξής:

  • Μια τέτοια μηχανή Μ αποφασίζει την L“βάσει πλειοψηφίας” .
bpp bounded probability polynomial time
Κλάση BPP(Bounded-Probability Polynomial Time)
  • Μια γλώσσα L ανήκει στην BPP αν και μόνο αν υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου πιθανοκρατική μηχανή Turing Μ τέτοια ώστε για κάθε

να ίσχουν τα εξής:

  • Μια τέτοια μηχανή Μ αποδέχεται “βάσει καθαρής πλειοψηφίας” ή απορρίπτει “βάσει καθαρής μειοψηφίας”.
slide19
Εγκλεισμοί Κλάσεων (1)
  • Οι βασικοί εγκλεισμοί είναι:
  • Ο δεύτερος ισχύει καθώς μια μηχανή που αποφασίζει με “καθαρή” πλειοψηφία, σίγουρα αποφασίζει και με “απλή”.

Πιο αυστηρά , από τους ορισμούς, η BPP έχει πιθανότητα λάθους μικρότερη από 0.25 ενώ η PP επιτρέπει πιθανότητα λάθους αυθαίρετα κοντά στο 0.5.

slide20
Εγκλεισμοί Κλάσεων (2)
  • Για τον πρώτο εγκλεισμό, σκεφτόμαστε ως εξής:Έστω
  • Ορίζουμε μια πιθανοκρατική μηχανή M’ ως εξής:“ Για είσοδο x εξομοίωσε την M(x) δύο φορές. Αποδέξου αν και μόνο αν μια από τις δύο εξομοιώσεις κατέληξε σε κατάσταση αποδοχής, διαφορετικά απόρριψε.”
slide21
Εγκλεισμοί Κλάσεων (3)
  • Αν τότε η Μ(x) δε θα αποδεχθεί, συνεπώς δε θα αποδεχθεί ούτε η M’(x)
  • Αν τότε εξ’ ορισμού:

συνεπώς:

  • Συνεπώς:
slide22
Εγκλεισμοί Κλάσεων (4)
  • Ένας τελευταίος εγκλεισμός είναι ο εξής:
  • Έστω μια γλώσσα L στo NP η οποία διαγιγνώσκεται από μια μη ντετερμινιστική μηχανή Ν.
  • Ορίζουμε μια νέα μηχανή N’ , πανομοιότυπη με την Ν εκτός από μια νέα αρχική κατάσταση και μια μη ντετερμινιστική επιλογή από αυτή.
  • Η μια πιθανή κίνηση οδηγεί στον αρχικό υπολογισμό της N πάνω στην ίδια είσοδο.
  • Η δεύτερη επιλογή πάντα σε κατάσταση αποδοχής.
slide23
Εγκλεισμοί Κλάσεων (5)
  • Έστω μια λέξη x. Αν η Ν με είσοδο x χρειάζεται p(|x|) βήματα και παράγει μονοπάτια υπολογισμού, τότε η N’ παράγει μονοπάτια.
  • Από αυτά τουλάχιστον τα μισά θα τερματίσουν σε κατάσταση αποδοχής (αυτά που ανταποκρίνονται στα μισά μονοπάτια αποδοχής της N’).
  • Έτσι, η πλειοψηφία των υπολογισμών της N’ αποδέχεται αν και μόνο αν υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι υπολογισμού της N(x) που καταλήγει σε αποδοχή, δηλαδή αν και μόνο αν .
  • Συνεπώς η Ν’ αποδέχεται την L με πλειοψηφία και .
slide24
Συμπεράσματα
  • Η εισαγωγή τυχαιότητας οδηγεί σε απλότητα και αποτελεσματικότητα κατά τη λύση ενός προβλήματος.
  • Προϋποθέτει την ύπαρξη μιας αμερόληπτης γεννήτριας ανεξάρτητων τυχαίων αριθμών.
  • Η πρόσβαση σε τέτοιες ακολουθίες αριθμών είναι ακριβή, γι’αυτό πρέπει να χρησιμοποιείται με φειδώ όπως ο χώρος και ο χρόνος.
  • Υπάρχουν τρόποι να μειωθεί η τυχαιότητα από τους αλγόριθμους, διατηρώντας την αποδοτικότητα σχεδόν σταθερή.
slide25
Ανοιχτά Ζητήματα
  • Η σχέση μεταξύ των κλάσεων BPP και NP παραμένει άγνωστη. Αν , τότε: .
  • Ένας τέτοιος εγκλεισμός μοιάζει απίθανος , καθώς θα σήμαινε πως υπάρχουν πρακτικές λύσεις για NP-Πλήρη προβλήματα.
  • Γνωρίζουμε πως το RP είναι υποσύνολο του BPP και το BPP είναι υποσύνολο του PP , αλλά δεν γνωρίζουμε αν είναι γνήσια υποσύνολα.