Приложения ОПРЕДЕЛЕННого ИНТЕГРАЛа

1. ПриложенияОПРЕДЕЛЕННогоИНТЕГРАЛаПриложенияОПРЕДЕЛЕННогоИНТЕГРАЛа [ вычисление площадей плоских фигур - вычисление площади фигуры в полярной системе координат - вычисление объема тел - вычисление длины дуги - вычисление площади поверхности тела вращения – примеры ]

2. Вычисление площадей плоских фигур y S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, снизу осью абсцисс x , двумя прямымиx = a и x = b , параллельными оси ординат. f(x) S x Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой и синусоидой a b y cos x x -5p/4 p /4 sin x

3. Пример @ Найти площадь фигуры, ограниченной прямой, параболойи осью x y Точки пересечения кривых : (0;0), (2;0), (4;2) Первое решение : S2 S1 x 0 2 4 Второе решение :

4. Пример @ Найти площадь эллипса с полуосями aиb y b x a

5. Пример @ Найти площадь астроиды : Используем уравнение астроиды в параметрической форме

6. Площадь фигуры в полярной системе координат r(j) r ( jb ) b dl = rdj M(x,y) r dj y a r ( ja ) j 0 x 0

7. Пример @ Найти площадь кардиоиды

8. Вычисление объема тел В общем случае для этих целей используются двойной или тройной интеграл. В частном случае, если известны площади параллельных сеченийвдоль выбранного направления, можно получить расчетную формулу для объема. dxk Sxk

9. Пример @ Найти объем цилиндрического отрезка с радиусомоснованияaи высотой h x h z dx y a

10. Вычисление объема тел вращения y x dxk a b Sxk

11. Пример @ Найти объем шара радиуса a y x

12. Пример @ Найти объем тора с радиусами R = 2иa = 1 x R a x R a

13. Вычисление длины дуги B dz dx dy A Плоская кривая 0

14. Формула для длины дугив полярной системе координат +

15. Вычисление площади поверхности тела вращения Площадь конического кольца y x

16. Пример @ Найти площадь сферы радиуса a y x

17. Примеринженерной задачи @ Найти силу давления воды на стенку шлюза в форме полукруга радиуса R, диаметр которого совпадает с поверхностью воды O R x r dx R