连云港市教育科学研究所 孙 朝 仁

1. 数学实验手册案例解读（1） 连云港市教育科学研究所 孙 朝 仁 2014.09.05 徐州

2. 数学学习的四个层次: “用”数学—— “做”数学—— “想”数学—— “算”数学——

3. 动手‘做’数学 研究领域 数学综合实践应用 研究载体 课题学习 方式：研究性学习 研究方向 数学实验

4. 箱子中的数学 ——“数学好玩”

5. 作为教师你是否 也喜欢这样的 “课”呢

6. 手册七（上）实验主题

7. 实验1 感受无理数 设计意图：旨在通过计算、掷骰子、操作Excel等活动，丰富对有理数和无理数的有关内容的认识，引导学生从有限小数、无限循环小数出发认识无限不循环小数，感受到无限不循环小数是客观存在的.同时让学生经历观察、抽象、概括发现无理数的过程。 观察操作 构造

8. 实验1 感受无理数 • 紧扣两个目的： 一是感受无理数的存在； 二是领悟无理数的特点。 感受要有充分的时间来保证，领悟要有参与性的操作作基础。

9. 实验1 感受无理数 • 具体实验流程： 1.操作感受——认识无理数的基础； 2.活动思考——感受无理数的存在及领悟无理数的特点。 3.尝试构造——建立在自己认知水平上的意义建构。 4.拓展延伸——让学生接受数学文化的熏陶。

10. 实验1 感受无理数 • 教学建议： 1.本实验片段可以放在“2.2 有理数与无理数”教学的前半段，大约用时15分钟，这样可以为课本上“理性”分析无理数的产生过程作铺垫。 2.利用Excel软件中的“=RANDBETWEEN(0，1)”产生随机数，如果课堂上时间有限，可以让学生课外进行。需要注意的产生随机数是“动态改变”的。 3.通过构造小数7.808008000800008…，主要是让学生体会到这个有一定规律的小数也是无限不循环小数，即也是无理数。 4.课后一定要让学生在网上收集有关祖冲之和圆周率的相关资料，和大家共享，将课堂延伸到课外。

11. 实验1 感受无理数 • 教学建议： 5.可进行实验工具改进。 （1）将两枚骰子的六个面分别标上0、1、2、3、4、5六个数字，同时抛掷这两枚骰子，则朝上点数之和有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，这11个数字出现的概率分别是，，，，，，，，，，，当和为10时放弃重新抛掷．虽然数字之和出现的概率不同，但0～9这十个数字都有可能出现．记录结果，得到的无限不循环小数就有一定的普遍性． （2）做一枚正十二面体的骰子，在其中十个面上分别标上0～9这十个数字，空两个面．这样随机抛掷这枚骰子，进行实验，0～9这十个数字出现的概率相同，掷到空的一面朝上时放弃重新抛掷．记录结果，也可得到具有普遍性的无限不循环小数．

12. 实验1 感受无理数 • 教学建议： 5.可进行实验工具改进。 （3）取10枚完全相同的棋子或小球，在上面分别标上0～9这十个数字，将其放进不透明的袋子中，进行有放回的随机摸球或取棋子活动，记录结果，仍然可得到带有普遍性的无限不循环小数． （4）做分别标有0～9这10个数字的10张签（除所标数字不同外，其它都相同），以抽签方式产生每个数位上的数字，同样可得到具有普遍性的无限不循环小数．

13. 实验2 在数轴上表示无理数 • 设计意图： 旨在为学生直观理解无理数也可以用数轴上的点来表示。实验由两个小实验构成，其中每个小实验又采用实物操作和计算机模拟两种方式进行操作探究，互为补充、相得益彰。对无理数的认识与理解，原先八年级的学生尚感困难，现在面对七年级的学生，当属难上加难。因此，拟通过学生动手实验，让他们在经历中感受、在活动中体会、在交流中提升、在总结中理解。 实物操作计算机模拟 π

14. 实验2 在数轴上表示无理数 • 实验重点突出两个层面： 一是构造面积为2的正方形和直径为1的圆； 二是在数轴上表示出正方形的边长和圆周长。 • 实验主要以两种方式展开： 一是利用附录中的图形实物操作； 二是利用几何画板软件模拟探究。 • 实验抓住一个关键词： 表示——数形结合

15. 实验2 在数轴上表示无理数 • 具体实验流程： 这里 分三步进行： 第一步：拼图——进一步说明无理数的客观存在性； 第二步：思考——边长a为什么是一个无理数？引导学生回顾上节课所学内容； 第三步：表示——将拼成的大正方形的边长放置于数轴上，提醒学生注意观察对应的点。

16. 实验2 在数轴上表示无理数 • 具体实验流程： 分两步操作： 第一步：通过几何画板作出正方形OBCD和正方形OCEF； 第二步：再以点O为圆心，线段OC长为半径画弧，交数轴正半轴于点F。 思考两个问题： 1.正方形OBCD和正方形OCEF的面积分别是多少？ 2.点F对应的数是整数吗？是分数吗？

17. 实验2 在数轴上表示无理数 • 具体实验流程： 分两步进行： 第一步：揭图——将附录1中的圆形纸片揭下来； 第二步：滚动——将圆形纸片沿数轴滚动1周。 思考：点A所表示的数为什么就是圆周率π？

18. 实验2 在数轴上表示无理数 • 具体实验流程： 说明： 对于探寻π对应点的计算机模拟实验，利用几何画板软件作图并让圆滚动一周，是个高技术的活儿，不提供准确的作图程序很难进行模拟操作实验。可供几何画板软件基础较好的班级选用。

19. 实验2 在数轴上表示无理数 • 教学建议： 1.本实验在“2.3 数轴”教学例2完成后使用，可代替教材中“议一议”、“做一做”的教学内容，便于学生直观理解。 2.本节课尽管提供了两个小实验，从操作和实施层面上看，应该以第一个实验操作为主。几何画板软件基础较好的班级可选用第二个实验进行精确验证。 3.具体教学过程中，实验操作只是载体，关键是激发学生探究的兴趣，引发学生的交流和思考，渗透解决问题的策略和数学思想。 4.根据学生的兴趣，建议让学生试着在数轴上表示其它的无理数。

20. 实验3 “幻方”中的游戏 • 设计意图： 旨在通过对感受三阶幻方、构造三阶幻方、创新幻方等活动，了解幻方的制作过程，理解幻方中的规律，并应用规律构造新的幻方，同时构造“幻圆”，提高学生的计算能力，发展学生观察、分析、归纳的能力， 培养学生的创新意识． 感受构造 创新

21. 实验3 “幻方”中的游戏 • 抓住两个层面： 1.从有序到无序——感受幻方呈现之美； 2.从无序到有序——领悟幻方构造之法。 • 发现三条基本性质： 性质1 每一行（或列）的数字和称为幻和值， 幻和值＝3×中心格数； 性质2 2×角格的数＝非相邻的2个边格数之和； 性质3 中心对称的2个数相加的和相等，这2个数的和值＝2×中心格数．

22. 实验3 “幻方”中的游戏 • 具体实验流程： 1.感受幻方——介绍历史，分析构造过程，引导学生观察图1，发现数字间的排列规律，得出基本性质。——追求一个“透”字。 将九宫图整体旋转90度，可得到7个“幻方”。

23. 实验3 “幻方”中的游戏 • 具体实验流程： 2.构造幻方——从已知中间数，任选中间数，已知9个数的和三个层面构造幻方。——抓住一个“悟”字。 已知中间数为10，类比中间数是5的“幻方”，从“5”到“10”有两条途径，一是“5+5”；二是“5×2”，从而在图1的基础上可构造以下两个符合条件的“幻方”。

24. 实验3 “幻方”中的游戏 • 具体实验流程： 2.构造幻方——从已知中间数，任选中间数，已知9个数的和三个层面构造幻方。——抓住一个“悟”字。 对于任选中间数的问题，只要抓住由“5”如何得到你所选的“中间数”即可，这里渗透“转化”的思想。 而对于已知9个数的和为2013，能否构成幻方的问题，只需利用“性质1”即可解决，9个数的和必须为9的倍数才能构成，而2013不是9的倍数，故不能构造成幻方。 此时，教师可追问一个问题：和为2016呢？

25. 实验3 “幻方”中的游戏 • 具体实验流程： 3.创新幻方——从构造“幻方”拓展到构造“幻圆”。——抓住一个“移”字。 注意两个问题： （1）方程思想——8+3+1+x=36/2； （2）转化思想——思考9……16这8个数与1……8这8个数之间的关系。 结论：将一个幻方（幻圆）中的每个数都加上或都乘以同一个数，得到的仍是幻方（幻圆）

26. 实验3 “幻方”中的游戏 • 教学建议： 1.本实验可在有理数的加、减、乘、除运算之后进行，用以巩固有理数的四则运算，带有一定的趣味性。 2.活动过程中，重在引导学生发现幻方中数字之间的排列规律，并能将这些规律应用在构造“幻方”和“幻圆”的过程中。培养学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，体会转化等数学思想方法． 3.对于基础较好的班级，也可以将三阶幻方拓展到四阶幻方、五阶幻方的制作和认识，进而发展学生的数学学习力。

27. 实验4 翻牌游戏 • 设计意图： 通过翻牌游戏，提高有理数运算教学的趣味性，激发学生探究意识和深入挖掘其中数学知识的愿望，使学生经历运用已有知识解决问题的过程，感受和体会有理数符号和有理数乘法的作用.本实验改编于“翻转茶杯”. 游戏 思考 翻牌——赋值

28. 实验4 翻牌游戏 • 重点把握两个层次： 关注其现象——通过“无序”的翻牌，观察“翻成功”和“翻不成功”两种现象。“7翻3”、“7翻2”，还可以“4翻3”、“5翻2”，让学生尽可能地多翻翻并列表表示。 揭示其本质——一方面，“每次翻转2只茶杯”可以看作“将1只茶杯连续翻转2次”； 第一次翻转后“5翻3” 转化为“2翻3”； 一次“6翻4”的 操作相当于进行二次“6翻2” …，这些都渗透着化归与转 化的数学思想方法。另一方 面，按牌的“正面朝上”和“反 面朝上”进行赋值，看牌的整 体“积”的变化进行分析。

29. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 1.翻牌游戏——“7翻3” （1）在附录2中取7张扑克牌，全部反面朝上放在桌子上，每次翻3张牌（包括已经翻过的牌），如图1．你能否经过若干次的翻牌将所有的扑克牌都变为正面朝上？若能，你最少需要翻几次？

30. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 1.翻牌游戏——“7翻3” 开始 翻1次 翻2次 翻3次

31. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 1.翻牌游戏——“7翻3” 翻4次 翻5次 • 最少需要翻几次？

32. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 1.翻牌游戏——“7翻3” 开始 翻1次 翻2次 翻3次

33. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 1.翻牌游戏——“7翻2” （2）如图2，将7张扑克牌全部反面朝上放在桌子上，每次翻动2张牌（包括已经翻过的牌），如图2．你能否经过若干次的翻牌将所有的扑克牌都变为正面朝上？

34. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 1.翻牌游戏——“7翻2” 开始 翻1次 翻2次 翻3次

35. 实验4 翻牌游戏 • 具体实验流程： 2.数学思考——“赋值计算” （1）将每张扑克牌正面朝上时记为＋1，反面朝上时记为－1，计算这7张牌表示的数的积，再每次翻2张或3张牌后，计算这7张牌表示的数的积．你发现了什么？ （2）在桌子上放奇数张反面朝上的扑克牌，每次翻偶数张扑克牌（包括已经翻过的扑克牌），你能否经过若干次翻牌将所有的扑克牌都变为正面朝上？

36. 实验4 翻牌游戏 • 教学建议： 1.本实验建议放在“有理数的乘法和除法”后作为拓展内容使用。实验工具用纸杯等代替也可以。 2. 翻牌游戏前，教师要对学生分组，可以2人一组或4人一组，让学生先游戏，然后全班交流，讨论“能不能”、“最少需要翻几次”等问题． 3. 第1个问题结束后，教师可以根据学生活动的状况，提出“每次翻动4张牌行不行？”“每次翻动6张牌呢？”以引发学生的操作和思考． 4.对第2（1）问题，教师要引导学生列表，将翻动2张牌、3张牌、4张牌、5张牌、6张牌，……，以及求出的这7张牌表示的数的积，用表格将思考的过程全部展示出来。然后分析这些积的变化，得出正确结论．

37. 实验5 数字黑洞 • 设计意图： 通过“了解数字黑洞”、“验证数字黑洞”、“探寻数字黑洞”揭示一些数字规律，巩固绝对值运算、乘方运算等有理数运算法则．本实验选择了学生较容易掌握的三种黑洞，旨在通过实验激发学生学习的热情，感受数学的神奇魅力． 了解验证 构造

38. 实验5 数字黑洞 • 把握好三个层次： 了解“数字黑洞”——激发好奇心．数字黑洞有很多种类型，如西西弗斯串黑洞、卡普雷卡尔黑洞（又称为重排求差黑洞）等，它们都是从某些整数出发，反复迭代后的结果落入一个点或若干点． 验证“数字黑洞”——激发求知欲。引导学生亲身验证“123黑洞”、“153黑洞”，需反复多次实验，才可得出结论。 探寻“数字黑洞”——激发探究欲。探究按一定规则进行的反复运算，最终发现落入的“黑洞”。

39. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 1.了解“数字黑洞” 数字黑洞是一种数字游戏，通常从一个整数或一组整数出发，按某种规定的计算法则，反复进行同一种操作程序，最终都会回到一个数值上，这个数值就像宇宙中的黑洞一样将任何数字牢牢吸住，使其不能逃脱． 数字黑洞对学生来说是一个比较生疏的概念，实际教学时可较详细地给学生介绍其概念、来源、意义和常见类型。也可布置学生实验前浏览有关网站，上课时让学生展示。

40. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 2.验证“数字黑洞” （1）123黑洞 任取一个数，依次写出组成它的数字中所含偶数的个数、奇数的个数及这两个数字的和，这样就得到一个新的正整数．如此重复进行，你有什么发现？ 写几个数试试看，并将结果填入下表： 注意：务必多写几个，只有这样才能得出结论！

41. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 2.验证“数字黑洞” （2）153黑洞 任意写出一个3的倍数，先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这新数重复上述运算． 例如：63是3的倍数，按上面的规律运算如下： 63+33=216+27=243→23+43+33=8+64+27=99→93+93=729+729=1458→13+43+53+83=1+64+125+512=702→73+03+23=351→33+53+13=153→13+53+33=153． 写几个数试试看，说说你的发现！ 注意：实际实验时，教师只出规则，让学生按规则进行计算，让每个学生自己写一个符合条件的数，最后比较计算的结果！

42. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 3.探寻“数字黑洞” （1）任意写 3 个不相同的数字，将它们组成一个最大数和一个最小数的三位数，然后把这两个数相减，取绝对值，得到一个三位数． ①重复上述步骤，你有什么发现？ ②你能知道最多相减多少次后进入黑洞？ 三位数的黑洞数为495 ：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693 ；按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495 ；之后反复运算都得到495．

43. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 3.探寻“数字黑洞” ——解密是关键 取任意不同的三个小于10的自然数，用它们组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，记为100a+10b+c和100c+10b+a（不妨设a＞b＞c），它们作差，可得99（a－c）． 即198、297、396、495、594、693、792、891. ①981－189＝ 792； ②972 －279＝ 693； ③ 963－369＝ 594； ④ 954－459＝495。 由此可以看出，最多5次，必得相同的数495． 取任意不完全相同的三个小于10的自然数，用它们组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，作差，操作过程最多7次，必得相同的数495．

44. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 3.探寻“数字黑洞” ——拓展到四位数 四位数的黑洞数有6174：随便取一个四位数，如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2=8621，再把1628的四个数字由小到大排列得a3=1268， a2－a1=8621-1268=7353. 把7353按上面的方法再作一遍：7533－3357=4176 . 把4176再重复一遍：7641－1467=6174 .如果再往下作，奇迹就出现了！ 7641－1467=6174，又回到6174 .

45. 实验5 数字黑洞 • 具体实验流程： 3.探寻“数字黑洞” （2）任意写一个数字不完全相同的四位数， 把这个数的每一位数字都平方， 然后相加， 重复运算下去，你会发现什么？ 经过运算后，循环的是“37、58、89、145、42、20、4、16”，其实除了循环为1的数（如68、100、1、1）外其余全是这种循环。 比如，取数字1993，其运算结果是： 1993→172→54→41→17→50→25→29→85→ 89→ 145 →42→20 →4 →16 →37 →58 →89 →145 又如2014，经过运算后，循环的是21→5→25→29→85→89

46. 实验5 数字黑洞 • 教学建议： 1.本实验建议放在第二章有理数教学结束后使用。 2. 不能以教师的讲解替代学生的实验，要让学生经历实验的过程，只有经过多次的实验才能发现规律． 3. 教学时要避免学生只听不算，引导学生在运算的过程中巩固知识，进而培养探究学生的思维能力． 4. 根据学生的兴趣，建议让学生查找、浏览有关数字黑洞的相关网站，如http://baike.baidu.com/link?url=kR4ZsadSy9X8XiUCdCcLlgaSQsXokA-CaKY9Gw4ISmVDeqAZl-adbJ3PO0dyPHT5．

47. 实验6 字母表示数 • 设计意图： 通过观察、操作、填表、猜想、推理、交流等一系列活动，让学生感受字母表示数的优越性，帮助学生建立符号意识，积累数学活动经验，感悟具体到一般的归纳思想． 发现规律 数字 图形 字母表示

48. 实验6 字母表示数 • 把握两个方面： 发现规律是基础——通过观察、操作、填表、猜想、推理、交流等一系列活动，发现一列数或规则图形的变化规律，重在会用文字语言表述所发现的规律． 字母表示是关键——将发现的规律用字母表示出来，让学生充分感受用字母表示数的优越性：简明、普遍。 • 掌握一种方法： 分解的方法——从较复杂的图形中分解出基本图形，从中发现其变化的规律。

49. 实验6 字母表示数 • 具体实验流程： （1）一般先观察，然后归纳，写出第n个数，最后验证； （2）分层次补充:按规律写出第n个数（为正整数）． ①1，2，3，4，5，6，7，……，． ②2，4，6，8，10，……，． ③2，5，10，17，26，……，． 可以把学生分成不同的学习小组，小组内共同交流、总结．

50. 实验6 字母表示数 • 具体实验流程： 第二问的方法可以多样化，如根据数字规律3、8、15、24、……、得出第n个为n× （n+2 ）；也可以根据每条边上点的个数规律，第一个图，每条边2个点，即2×3－3；第二个图，每条边3个点，即3×4－4；第三个图，每条边4个点，即4×5－5；第四个图，每条边5个点，即5×6－6；依此，第n个图，每条边n＋1个点，即（n＋1）×（n＋2）－（n＋2）．