Análise do texto A Natureza da Matemática Ponte, J.P., Boavida, A. M., Graça, M., Abrantes, P.

1. Análise do texto A Natureza da Matemática Ponte, J.P., Boavida, A. M., Graça, M., Abrantes, P. Alexandra Bento Alexandre Pais Paulo Dias FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DE LISBOA

2. “ ... a concepção que se sustenta sobre a Matemática influencia profundamente o que se considera ser desejável relativamente ao seu ensino e aprendizagem.” (Ponte, Boavida, Graça, Abrantes) Questões que se têm colocado ao longo do tempo: • “Qual a natureza dos objectos matemáticos?” • “Os objectos matemáticos são ou não independentes do sujeito que os estuda?” • “Qual o papel da experiência e da razão na génese dos conhecimentos matemáticos?” • “As verdades matemáticas são rigorosas e irrefutáveis?”

3. Idealismo: • Os objectos matemáticos são livres criações do espírito humano; • Não existem autonomamente. Realismo (Platão, Thom, Godel): • Os objectos matemáticos não dependem da criação humana (têm propriedades próprias); • O universo matemático é autónomo;

4. Racionalismo (Espinosa, Descartes, Leibnitz, Platão): • Salienta o papel da razão no acesso às verdades matemáticas; • As noções matemáticas podem ser conhecidas independentemente da observação. Empiricismo: (David Hume, Stuart Mill) • As criações matemáticas são generalizações indutivas feitas a partir das nossas experiências ou observações.

5. Criticismo: (Kant) • Salienta a necessidade de interacção entre a razão e a experiência na construção do conhecimento matemático.

6. Crise dos fundamentos Ideal tradicional da Matemática (mito de Euclides) versus Prática real da actividade Matemática

7. DA CERTEZA DA VERDADE À PROCURA DA CERTEZA – A CRISE DOS FUNDAMENTOS • Surgimento das Geometrias Não Euclidianas. • Aparecimento das Álgebras Não Comutativas; • Crise nos fundamentos do Cálculo;

8. CRIAÇÃO DO CÁLCULO(Leibnitz e Newton – séc. XVII/XVIII) Existência de paradoxos Somas paradoxais S = 1-1+1-1+1-1.... S = (1-1)+(1-1)+(1-1)... = 0 S = 1+(-1+1)+(-1+1)... = 1 S = 1-(1-1-1+1... )= 1 - S Necessário fundamentar devidamente o CÁLCULO (noção de limite)

9. Cauchy define claramente limite A partir de uma teoria de limites aceitável, define-se continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade. Resolvidos os paradoxos das somas paradoxais através da definição dos critérios de convergência de séries. • a definição de limite assenta sobre uma simples intuição geométrica do sistema dos números reais. (perigo da intuição geométrica – Weierstrass) • Problemas com integrais ( Riemann) Torna-se urgente compreender as propriedades dos números reais. ARITMETIZAÇÃO DA MATEMÁTICA

10. Ir ainda “mais fundo” do que os números naturais, na fundamentação da matemática TEORIA DOS CONJUNTOS (Cantor) Conjunto é o objecto elementar da matemática e número é definido como sendo a cardinalidade de um conjunto Paradoxos na teoria dos conjuntos Paradoxo de Russel: O barbeiro de uma terra barbeia todos os homens que não se barbeiam a sim próprios. Quem barbeia o barbeiro?

11. EM BUSCA DOS FUNDAMENTOS Necessidade de estabelecer o conhecimento matemático numa fundação absolutamente segura. • LOGICISMO • CONSTRUTIVISMO • FORMALISMO

12. LOGICISMO • Corrente segundo a qual a Matemática pode ser reduzida à Lógica; “É agora impossível separar a Lógica da Matemática. Elas diferem apenas como um rapaz de um homem: a Lógica é a juventude da Matemática, e a Matemática é a maioridade da Lógica.” (Bertrand Russel) • Gottlob Frege (1848-1925); • Bertrand Russel (1872-1970) e Alfred Whitehead (1861-1970): PRINCIPIA MATHEMATICA – tratado de Lógica Matemática com os objectivos de: - Reduzir todos os conceitos matemáticos a conceitos lógicos. - Provar todas as verdades matemáticas a partir dos axiomas e utilizando as regras de inferência lógica.

13. CONSTRUTIVISMO • Reconstruir todo o conhecimento matemático de forma a salvaguardá-lo da perda de significado e de contradições; • Rejeitam argumentos não construtivistas (não finitistas); • (ex. não numerabilidade do conjunto dos números reais, lei do terceiro excluído). INTUICIONISMO (L. C. J. Brouwer) – não é a experiência nem a lógica que determinam a coerência e aceitabilidade das ideias matemáticas, mas sim a intuição. Apenas admite a existência de objectos matemáticos que sejam obtidos por construção, num número finito de passos, a partir dos naturais. (os objectos matemáticos tem a sua origem no intelecto humano)

14. FORMALISMO • David Hilbert (1862-1943) – Programa de Hilbert -Organizar toda a matemática numa estrutura lógica de um sistema de axiomas; - Provar a consistência desse sistema utilizando apenas processos finitistas (metamatemática); Redução da matemática a deduções formais dos axiomas, sem ter em conta o seu significado (jogo sem sentido). “O objecto de estudo da matemática são os próprios símbolos” (David Hilbert) • Verdade dos axiomas  consistência lógica dos axiomas;

15. As diferenças do formalismo: -em relação ao LOGICISMO: “Estamos convencidos que certos conceitos intuitivos são condições necessárias para o conhecimento matemático, que a lógica por si só não é suficiente.” (David Hilbert) - em relação ao CONSTRUTIVISMO: “A questão: onde é que a matemática existe? É respondida de maneira diferente nos dois lados; o intuicionista responde: no intelecto humano, o formalista: no papel. (Brouwer)

16. Que futuro tiveram estas três correntes? • LOGICISMO • A teoria dos conjuntos em termos lógicos era um sistema muito complexo e pesado; • Apesar de se poder escrever qualquer proposição matemática em linguagem lógica, nem todas as proposições matemáticas são lógicas;

17. CONSTRUTIVISMO • Empobrecimento do conhecimento matemático; “Eles (Weyl e Brouwer) procuram salvar a matemática, deitando fora tudo o que é problemático (...) amputaram e cilindraram a ciência. Se seguíssemos as reformas que eles sugerem, correríamos o risco de perdermos uma grande parte do nosso precioso tesouro” ( David Hilbert) • Baseavam o conhecimento matemático exclusivamente no sujeito. (subjectividade do conhecimento matemático)

18. FORMALISMO • Como programa cujo principal objectivo era provar a consistência da matemática falhou. ““Na escala de Richter das descobertas matemáticas, as descobertas de Godel correspondiam a um 10. A matemática ser incompleta e possivelmente inconsistente foi um rude golpe para aqueles que viam a matemática como o mais lógico dos sistemas lógicos, e poucos dos que trabalhavam neste campo não a viam desta forma. Após Godel, a maioria dos matemáticos profissionais ainda se agarrava à ideia de que a matemática era, de facto, livre de contradições, apesar de agora saberem que nunca poderiam demonstrá-lo. (Paul Hoffman) • Pesada herança na imagem da matemática como ciência e na matemática escolar (movimento da “matemática moderna”).

19. “Temos nos vindo a aperceber que a visão absolutista da matemática é uma idealização, um mito. Isto representa um avanço no conhecimento, e não um retrocesso em relação à certeza do passado. O Jardim do Paraíso em que colocávamos a matemática não era mais do que um paraíso de tolos.” (Paul Ernest, 1991) “É agora razoável propor uma nova tarefa para a filosofia da matemática: não continuar a procurar a certeza absoluta, mas antes começar a olhar para o conhecimento matemático como ele realmente é: falível, corrigível, de tentativa e erro, tal como qualquer outro tipo de conhecimento humano.” (Hersh, 1979)

20. Imre Lakatos(FALIBILISMO) “...segue a teoria do conhecimento científico enunciada por Popper que advoga que o conhecimento científico é hipotético, falível, e que a ciência progride, a partir de problemas, pelo jogo entre factos, conjecturas e refutações.” (ponte, boavida, graça e abrantes)

21. Matemática(a lógica da descoberta em Matemática)onde se reconhece ao erro um valor insubstituível no processo de produção do conhecimentos Explicações Justificações Elaborações “...não estabelecem a verdade das conjecturas, mas antes as tornam mais plausíveis,...”

22. Falibilismo • “... O processo pelo qual criações matemáticas privadas se tornam em saber matemático publicamente aceite. Este processo envolve discussão crítica, conjecturas e refutações, ...” • (ponte, boavida, graça e abrantes) Abordagem quasi-empiricista • “... Debruçarmo-nos sobre as práticas reais dos cientistas, tanto as actuais como as passadas e encontrar uma filosofia que enquadre e descreva essas práticas, em lugar de uma filosofia que prescreva o que elas devem ser.” • (ponte, boavida, graça e abrantes) • Resolução da crise

23. O que os fundacionistas ignoravam(?) Provas informais Desenvolvimentos históricos Possibilidade de erro matemático Explicações matemáticas Comunicação entre matemáticos Utilização de computadores,...

24. Quasi-Empiricismo e o Ensino da Matemática • “Uma perspectiva social sobre a Matemática, em que se inclui o quasi-empiricismo, tem importantes implicações para a pedagogia e didáctica da Matemática.” (Paul Ernest, 1994)

25. Bento de Jesus Caraça “ ...como a Matemática, do mesmo modo que toda a construção humana, depende do conjunto de condições sociais em que os seus instrumentos têm que actuar. Subordinação que não a humilha, mas antes a engrandece.” , Matemática como Objecto Cultural e Social

26. MATEMÁTICA(Papert) • Componente formal, axiomas, definições, teoremas, demonstrações,... • Componente algorítmica, procedimentos, treino sistemático,... • Componente intuitiva, observações, imagens, analogias, conjecturas,...

27. “A Matemática é, acima de tudo, uma actividade humana, estabelecendo relações multifacetadas com a cultura, absorvendo valores e crenças de uma sociedade, mas simultaneamente moldando esses valores e essas crenças.” HISTÓRIA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA (2001/2002) Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa

28. Podemos encontrar duas conclusões fundamentais no texto: • A posição filosófica relativamente a Matemática influência os conceitos e consequentemente os princípios orientadores do processo de ensino - aprendizagem. • 2) Saber matemática está associado a fazer matemática. Se o fazer matemática depende da perspectiva epistemológica em que nos situamos então o saber matemática também e em consequência disso o ensino da matemática também é afectado.

29. “All mathematical pedagogy, even if scarcely coherent, rests on a philosophy of mathematics” (René Thom)“Toda a pedagogia da matemática, mesmo que pouco coerente, assenta numa filosofia da matemática” (nossa tradução)

30. O texto... • “Uma vez que a intuição matemática é uma componente fundamental e insubstituível da actividade matemática, importa ter em conta a ênfase exclusiva, na sala de aula, em tarefas matemáticas que não estimulem os aspectos intuitivos do pensamento, para lá de constituir uma parente pobre da experiência matemática, pode funcionar, para alguns alunos, como uma barreira inibidora da construção de conhecimento matemático significativo.”

31. O texto... • “O Platonismo e o Idealismo, embora se situem em posições extremas quanto à natureza da existência dos objectos matemáticos, estão muitas vezes presentes, em simultâneo, no pensamento dos professores de Matemática. Por um lado, a Matemática é vista como uma revelação, como uma passagem do concreto ao abstracto, mas, por outro lado, o professor espanta-se com a sua aplicabilidade à interpretação do mundo físico.”

32. PERSPECTIVA FORMALISTA (Absolutista) ““Do ponto de vista do formalista, não começamos a fazer matemática enquanto não tivermos elaborado alguma hipótese e iniciado uma demonstração. Logo que alcançamos as nossas conclusões, a matemática acaba.” (Davis e Hersh) “ O formalista faz uma distinção entre a geometria enquanto dedutiva e a geometria enquanto ciência descritiva. Só a primeira é considerada matemática. A utilização de figuras, diagramas ou até imagens mentais é considerada não matemática. Em princípio, elas não deveriam ser necessárias. Consequentemente, o formalista considera-as desadequadas, talvez mesmo para uma aula de matemática.” (Davis e Hersh) “A questão do que aprendemos e do que a audiência compreendeu é outra coisa – não é uma questão matemática.” (Davis e Hersh)