本章結構

本章結構 • 導論 • 非線性規劃問題範例 • NLP問題的分類 • 圖形分析NLP問題 • 無限制式NLP問題 • 有限制式NLP問題 13-1

導論 • 非線性規劃(nonlinear programming NLP ) • 在數學規劃問題中，目標函數與各限制式中至少有一個呈非線性的關係。 13-2

非線性規劃問題範例 • 生產多種產品（product mix）問題 • 運輸（transportation）問題 • 股票投資風險選擇（portfolio selection with risky securities）的問題 13-3

生產多種產品組合 題目參見課本p317 13.1.1 定義變數透過市場機能，價格彈性的發生是相當自然的 13-4

運輸問題 題目參見課本p317 13.1.2 13-5

股票投資風險選擇 題目參見課本p318 13.1.3 13-6

非線性規劃問題分類(1/2） • 凸函數： • 在函數之曲線上任取兩點連一線段，如果此線段會全部在此曲線上方 • 凸集合： • 所形成的區域的每一個邊界都凸向外面的。 • 無限制條件： • 問題沒有任何的限制式 • 二次規劃（quadratic programming）： • 目標函數是二次式，而且所有的限制方程式都呈線性的。 13-7

凹凸函數圖示 13-8

凸集合與非凸集合 13-9

非線性規劃問題分類(2/2） • 凸規劃（convex programming）：必須符合下列兩個條件： • 是凹函數 • 每一個都是凸函數 • 可分離規劃（separable programming） • 目標函數可以分割成n個子函數的和，而每個子函數只包括一個決策變數。 • 幾何規劃（Geometric programming） • 目標函數可以分割成n個子函數的和，而每個子函數皆為決策變數的幾何關係。 13-10

非線性範例規劃圖示 13-11

無限制式問題分析(1/2) • 一維中點搜尋演算法 • 步驟零：（起始步驟）決定可允許公差；尋找適當的上界點與下界點；目前暫時解等於兩界點的中點 • 步驟一：計算其一次微分；如果其值＞＝０，則讓下界等於一次微分；否則，讓上界等於一次微分 • 步驟二：目前暫時解等於兩界點的中點 • 步驟三：判斷停止搜尋法則． 13-12

無限制式問題分析(2/2) • 梯度搜尋演算法（多維） • 步驟零：選擇適當的可允許公差與起始暫時解 • 步驟一：按照順序，針對每一參數搜尋 • 步驟二：每一參數的搜尋，皆利用一維參數搜尋法－中點搜尋演算法 • 步驟三：判斷停止搜尋法則． 13-13

梯度搜尋演算法的範例 13-14

有限制式問題分析 • 拉格倫据乘數方法 • 拉格倫据的函數（Lagrangian function）： • 將拉格倫据的函數分別對所有的變數（包括決策變數以及新變數）做偏微分後令其等於０ 13-15

拉格倫据乘數方法的範例 • 問題： • 解法： 13-16

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