第七章关系

第七章关系 7.1 集合的笛卡尔积集 7.2 二元关系的基本概念 7.3 二元关系的性质 7.4 二元关系的闭包运算 7.5 等价关系和集合的划分 7.6 偏序关系和格 7.7 链与反链

二元关系 定义1 A，B是两个集合，称Ａ×Ｂ的一个子集为从集合A到集合B的一个二元关系，简称从Ａ到Ｂ的一个二元关系。例A={1,2}， B={a,b,c}, A×B＝{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)} 二元关系例子： { }=Ø {(1,a), (2,a)} {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)} ……

例 A={1,2,3}， A2=A×A＝{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} 二元关系例子： Ø A2 {(1,1), (2,2), (3,3)} ……

空关系、全关系、恒等关系 • 设Ｒ是从Ａ到Ｂ的一个二元关系，则Ｒ⊆Ａ×Ｂ。 • 若R=Ø，称为空关系 • 若Ｒ＝Ａ×Ｂ，称为全关系 • 当A＝B时，称二元关系Ｒ⊆Ａ×A为A上的二元关系 • 当A＝B时，记△A={(x,x)│x∊A}为A 的恒等关系

二元关系 设Ｒ是从Ａ到Ｂ的一个二元关系，若 (x,y)∊R, 也记为xRy, 并说元素x与y有关系R；若(x,y)∉R, 记为xRy, 说元素x与y没有关系R。

集合A中某些元素与集合B中某些元素的相关性 例设 A＝{a,b,c,d}是4个学生的集合， B={英语，高等数学，计算机原理，离散数学，数据结构} A×B 给出了学生和课程之间的所有可能配对. 关系R＝ { (a,英语),(a,高等数学), (b,计算机原理),( b,英语), (c,离散数学),(c,数据结构), (d,英语),(d,离散数据) } “相关性”意义既可以是描述学生们所选取的课程,　也可以是表示学生对某些课程有偏爱。

二元关系的四种表示方法 　有序二元组　表　图　矩阵例 A={a,b,c,d}, B={α,β,γ} R={ (a, α),(b, γ),(c, α),(c, γ),(d, β) }

二元关系的运算 令 R1和R2是从A到B的二元关系，那么 R1∩R2 R1∪R2 R1–R2 R1⊕R2 也是从A到B的二元关系，它们分别称为R1和R2的交、并、差和对称差。

例设A，B分别表示学生的集合和课程的集合。令 R1={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习课程y} R2 ={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x喜欢课程y} 则 R1∪R2={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习课程y , 或者学生x喜欢课程y} R1∩R2={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习喜欢的课程y} R1–R2={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习不喜欢课程y} R1⊕R2={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习不喜欢课程y , 或者学生x喜欢课程y但不学习课程y}

逆关系 定义2 设A和B是两个集合, R是从A到B的一个二元关系。令 R={(x,y) ∊ B×A│(y,x)∊R} 称之为R的逆关系。

复合关系 定义3设A，B，C是三个任意集合， R1是从A到B的一个二元关系， R2是从B到C的一个二元关系。令： R1◦R2＝{(x,y)∊ A×C│存在z∊B，使得 (x,z)∊R1, (z,y)∊R2 } 它表示一个从A到C的二元关系，称之为R1与R2的复合关系。当 A＝B＝C，且 R1＝R2=R时， R◦R记为R2。

例 (p77) 设S1，S2是自然数集N上两个二元关系， S1＝{ (x,y) │x,y∊N，且y=x2 } S2＝{ (x,y) │x,y∊N，且y=x+1} 求 S1, S2, S1◦S2, S2◦S1, S12。 S1＝{ (y,x) │x,y∊N，且y=x2 } S2＝{ (y,x) │x,y∊N，且y=x+1 } S1◦S2＝{ (x,y) │x,y∊N，且y=x2+1 } S2◦S1＝{ (x,y) │x,y∊N，且y=(x+1)2 } S12＝{ (x,y) │x,y∊N，且y=x4 } 解：

定理设 A、B、C、D是四个任意集合，R1、R2、R3分别是从A到B，从B到C，从C到D的二元关系。则有： ① R1 ◦△B = △A ◦R1 = R1 ② R1=R1 ③ R1◦R2 = R2◦R1 ④ (R1 ◦R2) ◦ R3= R1◦(R2 ◦R3 )

证明① R1 ◦△B = △A ◦R1 = R1 仅证 R1 ◦△B = R1 对于任意的x，y ,若(x,y)∊R1◦△B，则存在b∊B，使得(x,b)∊R1，(b,y)∊△B，即 b＝y ，∴(x,y)=(x,b)∊R1 即有 R1 ◦△B ⊆R1 反过来，对于任意的x，y，若(x,y)∊R1⊆Ａ×Ｂ，则 y∊B，∴(y,y)∊△B 由(x,y)∊R1，(y,y)∊△B　∴(x,y) ∊R1 ◦△B。即有 R1 ⊆R1 ◦△B 综上所述，结论R1 ◦△B = R1得证。

证明③ R1◦R2 = R2◦R1 对于任意的x,y, 若（x,y）∊R1◦R2，则(y，x)∊R1◦R2，所以存在b∊B，使得（y，b）∊R1，（b，x）∊R2，即有（x，b）∊R2，（b，y）∊R1， ∴（x，y）∊R1◦R2。故有 R1◦R2 ⊆R2◦R1 反之，对于任意的x,y, 若（x,y）∊R2◦R1，则存在b∊B，使得（x，b）∊R2，（b，y）∊R1，即（y，b）∊R1，（b，x）∊R2， ∴（y，x）∊R1◦R2，亦即（x，y）∊R1◦R2。故有 R2◦R1⊆R1◦R2

证明 ④ (R1 ◦R2) ◦ R3= R1◦(R2 ◦R3 ) 对于任意的x，y，若（x，y）∊ (R1 ◦R2) ◦ R3，则存在e∊C，使得 (x，e)∊R1 ◦R2，(e，y)∊R3，由(x，e)∊R1◦R2, 则存在b∊B, 使得(x, b)∊R1, (b, e)∊R2 由(b，e)∊R2, (e，y)∊R3, 则(b，y)∊R2◦R3。由(x，b)∊R1, (b，y)∊R2◦R3, 则 (x,y)∊R1◦(R2◦R3) 故有 (R1 ◦R2) ◦ R3⊆R1 ◦(R2◦R3) 同理可证 R1 ◦(R2◦R3)⊆ (R1 ◦R2) ◦ R3 所以最后结论得证。

Rn 当R为某一集合A上的二元关系时，记 R◦R=R2 由于关系的复合满足结合律(详见性质④ )，可以定义： R0=△A Rn＝R◦R◦…◦R n个

命题：对于任意自然数m，n，有 Rm◦Rn＝Rm+n, (Rm)n＝Rmn

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