因式分解

1. 因式分解

2. 15.4.1 因式分解（初级篇） ——因式分解的定义与提公因式法

3. 复习回顾 口答：

4. 新课引入 问题：630可以被哪些整数整除？ 解决这个问题，需要对630进行分解质因数 630 = 2×32×5×7 类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 以便于更好的解决一些问题

5. 试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积) 回忆前面整式的乘法

6. 　　上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。　　上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。 因式分解 分解因式 因式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是逆变形

7. 依照定义，判断下列变形是不是因式分解 （把多项式化成几个整式的积）

8. 下面两个式子中哪个是因式分解？ m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做。 公因式

9. 在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。 ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。

10. 如何准确地找到多项式的公因式呢？ 1、系数 所有项的系数的最大公因数 2、字母 应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的 3、系数与字母相乘

11. = 例题精讲 = 3 a b (3a–5bc) 最大公因数为3 a的最低指数为1 b的最低指数为1 = – 4 s t2 (3s2–2t+1) p q (5q+7p+3)

12. 第 2课时 利用平方差公式因式分解 第 3课时 利用完全平方公式因式分解 15.4.2 公式法（中级篇）

13. 15.4.2 公式法（中级篇1） ——利用平方差公式进行因式分解

14. 复习回顾 还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？ 平方差公式： 完全平方公式： 计算：

15. 新课引入 此处运用了什么公式? 逆用 平方差公式 试计算：9992 – 1 12 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000 因式分解:（1）x2 – ;（2）y2 – 4 25 22 52 = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5) 这些计算过程中都逆用了平方差公式 即：

16. 此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)： ① a2 – 9 = ___________________ ② 49 – n2 = __________________ ③ 5s2 – 20t2 = ________________ ④ 100x2 – 9y2 =_______________ (a+3)(a–3) (7+n)(7–n) 5(s+2t)(s–2t) (10x+3y)(10x–3y)

17. 例(2) 将前面②~⑥各式 运用平方差公式进行因式分解 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = (x2)2 – 12= (x2+1) (x2–1) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y) (x2–1) (x+1)(x–1) 因式分解一定要分解彻底 !

18. 例(2) 将前面②~⑥各式 运用平方差公式进行因式分解 ④ x2 – x6 = x2 – (x3)2 = (x+x3)(x–x3) = x·(1+x2)·x·(1–x2) = x2(1+x2)(1+x)(1–x) ④ x2 – x6 = x2 (1–x4) = x2(1+x2)(1–x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1–x) 更简便！ 在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。

19. 例(2) 将前面②~⑥各式 运用平方差公式进行因式分解 ⑤ 6x3 – 54xy2 = 6x (x2–9y2) = 6x(x+3y)(x–3y) ⑥ (x+p)2 – (x–q)2 = [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ] = (2x+p–q)(p+q) X Y X Y X Y

20. 15.4.2 公式法（中级篇2） ——利用完全平方公式进行因式分解

21. 复习回顾 还记得前面学的完全平方公式吗？ 计算：

22. 新课引入 此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式 试计算：9992 + 1998 + 1 2×999×1 = (999+1)2= 106 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：

23. 这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _________________ ② n2–10n+25 = _______________ ③ 4t2–8t+4 = _________________ ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________ (a+3)2 (n–5)2 4(t–1)2 (2x–3y)2

24. 完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

25. 例(2) 将例(1)中的完全平方式 利用完全平方公式进行因式分解 ① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ④ 4x2 – 8xy + 4y2 = (4x+3)2 = – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2

26. 例(2) 将例(1)中的完全平方式 利用完全平方公式进行因式分解 1 a4 • – 2a2 + • ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 = (a2–1)2 = [(a+1)(a–1)]2 = (a+1)2 (a–1)2 X X = (p+q–6)2 X

27. 15.4.3* 因式分解（高级篇） ——因式分解的其他常用方法

28. 知识结构 提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 …… 因式分解常用方法

29. 提公因式法随堂练习： 1）15(m–n)+13(n–m) 2）4(x+y)+4(x–3y) 一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。

30. 二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。

31. 常用公式 1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式） 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导

32. 这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆

33. 公式法随堂练习： 1）(a2–10a+25)(a2–25) 2）x3+3x2+3x+1 二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。

34. 三、十字相乘法① 前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式） 暂且称为p、q型因式分解 例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)

35. 十字相乘法①随堂练习： 1）a2–6a+5 2）a2–5a+6 3）x2–(2m+1)x+m2+m–2 这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数 例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)

36. 三、十字相乘法② 试因式分解6x2+7x+2。 这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。

37. 6 x2 + 7 x + 2 2 3 1 2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2) 4 + 3 = 7 3 x2 + 11 x + 10 1 3 1 3 2 5 5 2 ∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5) 2 5 + 6 + 15 = 11 = 17

38. 十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy 试因式分解5x2–6xy–8y2。 这里仍然可以用十字相乘法。 简记口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。 5 x2 – 6 xy – 8 y2 1 5 –2 4 4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)

39. 四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd。 解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd) = a(b – c) + d(b – c) = (a + d) (b – c) 还有别的解法吗？

40. 四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd。 解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd) = b(a + d) – c(a + d) = (a + d) (b – c)

41. 分组分解法随堂练习： 1）xy–xz–y2+2yz–z2 2）a2–b2–c2–2bc–2a+1 例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) =(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1) 立方和公式

42. 五*、拆项添项法 回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] =(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1) 怎么结果与刚才不一样呢？ 因为它还可以继续因式分解

43. 五*、拆项添项法 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。

44. 都是平方项 猜测使用完全平方公式 例 拆项添项法随堂练习： 1）x4–23x2y2+y4 2）(m2–1)(n2–1)+4mn 因式分解 x4 + 4 解：原式= x4+4x2 + 4 – 4x2 = (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+2x+2)(x2–2x+2) 完全平方公式 平方差公式

45. 配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。 因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。 配方法 (拆项添项法)分组分解法 解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1) = (a+2)2 – (b–1)2 = (a+b+1)(a–b+3) 完全平方公式 平方差公式

46. 二、新课 1. 我们把 叫做x的二次三项式。 这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项， 共有三项。 2. 请同学说出x的二次三项式 和x的一元二次方程 形式上有什么不同？ 答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。

47. 这是配方的关键 分解因式。 3. 用配方法把 再添一次项系数的一半的平方 分析：对 （注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 减去一次项系数一半的平方） 解：

48. 4. 分解因式 分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项 除以2 ，而是各项提取公因数2 解： 我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定 模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二 次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解 必定与方程的根有关系，这个关系是什么

49. 从以上例2的因式分解来研究。 与二次三项式 对应的一元二次方程是 =0 这个方程的两根是 由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？ 这个关系是：二次三项式系数乘以x 减去一个根的差， 再乘以x减去另一个根所得的差。

50. 以上的结论怎样证明？ 证明：设一元二次方程