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第七章 振动和波

第七章 振动和波. §7.1 简谐振动 §7.2 阻尼振动 §7.3 受迫振动与共振 §7.4 振动的合成和分解 § 7.5 机械波. §7.1 简谐振动. 一、简谐振动. 振动：物理量在某一定值附近反复变化。. （位置、电流强度、电压、电场、磁场强度等）. 机械振动：. 物体在平衡位置附近作往复运动。. ( 如声源的振动、钟摆的摆动等 ). 简谐振动：. 匀速圆周运动在任意直径方向的分运动. 二、简谐振动的运动方程. 周期. 频率. 角频率. 振幅. 相位. 初相位. 三、简谐振动的动力学方程.

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第七章 振动和波

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Presentation Transcript

  1. 第七章 振动和波 §7.1 简谐振动 §7.2 阻尼振动 §7.3 受迫振动与共振 §7.4 振动的合成和分解 §7.5 机械波

  2. §7.1 简谐振动 一、简谐振动 振动：物理量在某一定值附近反复变化。 （位置、电流强度、电压、电场、磁场强度等） 机械振动： 物体在平衡位置附近作往复运动。 (如声源的振动、钟摆的摆动等) 简谐振动： 匀速圆周运动在任意直径方向的分运动

  3. 二、简谐振动的运动方程 周期 频率 角频率 振幅 相位 初相位

  4. 三、简谐振动的动力学方程 匀速圆周运动的质点在直径 上的分运动是简谐振动 向心力： x方向上的分力 线性回复力： 力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，方向指向平衡位置。 简谐振动的动力学方程：

  5. 两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力 不是线性回复力

  6. 水平弹簧振子 k 线性回复力 x 动力学方程

  7. 竖直弹簧振子 O 合力： 平衡位置 y 动力学方程

  8. 复摆（刚体摆） 刚体定轴转动定理 小角度近似

  9. 动力学方程 （二阶常系数线性齐次微分方程） 虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程

  10. 四、动力学方程求解 1）x的通解形式为 通解中包含两个待定的积分常量， 它们取决于振动的初始运动状态， 描述简谐振动的三个特征参量： 振幅、初相位和频率

  11. 2）振幅 A 和初相位φ0的确定 由振动的初始条件 φ0所在的象限则由sinφ0或cosφ0的符号确定

  12. 3)固有频率ω0 弹簧振子 单摆 复摆 任一振动系统的固有频率由振子的固有参量决定，与初始条件无关。

  13. 例 小球A，B，B'在光滑的水平面上沿一直线静止放置。 B，B'质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让A对准B匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到A和B两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和B两球的质量比γ。 设B的质量为m， 则A的质量是γm 第一阶段是弹性碰撞 第二阶段：A做匀速直线运动；B，B'的质心做匀速直线运动，B，B' 相对质心作简谐振动。 弹性碰撞

  14. B的直线运动=匀速运动+简谐振动 B，B'的质心做匀速直线运动 B相对质心的初速度 简谐振动的频率 简谐振动的初始条件 B相对质心的简谐振动

  15. B的运动 A做匀速直线运动 在某时刻，A和B相遇不相碰的条件： 整理得

  16. 例 复摆 小角度近似 复摆的等时摆长

  17. 保持等时摆长不变，rC有两个解 在C点下方，满足 的点O'保持周期不变，称为O的倒逆点 过C的任一直线上存在四个点周期相同

  18. 四、谐振子的能量 动能: 势能: 机械能： 平均动能： 平均势能： 振子的动能和势能都随时间周期性地变化，幅值相同振子的机械能保持不变，平均动能/平均势能都占机械能的一半。

  19. 半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。 设小球质心速度vC，角速度ω 机械能守恒 其中 两边对t求导 小角度时的周期

  20. §7.2 阻尼振动 当没有外界的能量补充时，实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。 ①存在阻尼力 振幅衰减的原因: ②振动能量以波的形式向周围传播 阻尼振动的微分方程 固有频率: 阻尼因子:

  21. 一、阻尼振动方程 方程的解: ①β=ω0 时， ②β≠ω0 时，

  22. 二、欠阻尼振动（β＜ω0） x o t 品质因子： 当β<<ω0时： 在阻尼很小的情况下描述阻尼能耗的品质因子决定于振动系统的性质，与固有频率成正比，与阻尼系数成反比

  23. 在低阻尼情况下:

  24. 阻尼振子的能量 机械能的时间变化率等于阻力的功率

  25. 三、临界阻尼和过阻尼 临界阻尼（β＝ω0）： 过阻尼（β > ω0 ）：

  26. 三种阻尼振动比较 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。

  27. §7.3 受迫振动 保守力： 只有外部能量输入，耗散系统的振动才能持久运行，激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。 阻尼力： 简谐策动力： 受迫振动：用周期力驱动的振动。 周期力中简谐策动力最重要： （1）简谐策动力最简单，也最普遍 （2）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加 受迫振子上的力

  28. 一、受迫振动解 振动方程： 方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和 其中 方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解

  29. 受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解 猜测 得 两边对应项的系数相等

  30. 受迫振动的微分方程的通解 第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解

  31. 二、共振 1.振幅共振 振幅随ω的变化 根据 共振频率 共振振幅

  32. 2.速度共振（能量共振） 速度幅值随ω的变化 共振频率 根据 共振速度 我们周围的世界充满了各种振动

  33. 三、从能量的角度分析受迫振动 稳定受迫振动的速度 策动力的功率 阻尼力耗散的功率 速度共振时

  34. 一个周期中策动力和阻尼力的平均功率 平均功率

  35. §7.4 振动的合成和分解 一、一维振动的合成 A、两个相同频率简谐振动的合成

  36. 讨论： 1）相位差

  37. 2）相位差

  38. 1） 相互加强 2） 相互削弱 3）一般情况

  39. B、两个不同频率简谐运动的合成 考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动 合振动: 合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动，这种振幅周期变化的现象称为拍。

  40. 拍频（振幅变化的频率） 振动频率 振幅

  41. 二、二维振动的合成 讨论 1） 或 A、同频率振动的合成： 质点运动轨迹 （椭圆方程）

  42. 2） 3）

  43. 用旋转矢量描绘振动合成图

  44. 两相互垂直同频率不同相位差 简谐运动的合成图

  45. B、两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 如果 李 萨 如 图 形 测量振动频率和相位的方法

  46. 三. 振动的分解、谐波分析（傅立叶分析） x A t T

  47. x 合成后 ω ω ω 3 5 t 基频 ω

  48. §7.5 机械波 一、机械波的产生和传播 机械振动在连续弹性介质内的传播形成机械波

  49. 机械波产生的两个条件：波源，弹性媒质 波长:波的传播方向上两相邻同相点间的距离。 波的周期T: 波动传播一个波长所需的时间， 等于媒质质元的振动周期。 波的频率 :单位时间内所传播的波的数目. 波速u：又称相速度(常相点的传播速度)

  50. 说明： 传播方向 a b · · x  x (1)波传播时，媒质质元并不“随波逐流” (2)波的传播是振动形式，某时刻某质元的振动状 态将在较晚时刻于“下游”某处重现。 (3) 波是振动相位的传播 b点比a点的相位落后 (4)波是能量的传播

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