§3 . 1 矩阵的初等变换

1. §3.1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用 引例 首页 上页 返回 下页 结束 铃

2. ①②   ①② • 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如 增广矩阵的比较 显然 交换B的第1行与第2行即得B1 下页

3. ③2   ③2 • 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如 增广矩阵的比较 显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2 下页

4. ①2②   ①2② • 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如 增广矩阵的比较 显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3 下页

5. 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换 下页

6. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去 • 初等变换的符号 rirj(cicj)对调ij两行(列) rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 例如 变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj) 下页

7. 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B就称矩阵A与B行等价 记作 A ~ B r 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B就称矩阵A与B列等价 记作 A ~ B c • 矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与B等价 记作 A ~ B • 等价关系的性质 • (i)反身性 A~A • (ii)对称性 若A~B则B~A • (iii)传递性 若A~BB~C则A~C 下页

8. ~ ~ ~ 1 1 2 1 4 ~ ~ 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 00 0 0 • 矩阵初等变换举例 r1r2 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 r2r3 r22 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 r32r1 r35r2 0 2 2 2 0 0 1 1 1 0 0 5 5 3 6 0 0 0 2 6 r43r1 r43r2 0 3 3 4 3 0 00 1 3 r3r4 r1r2 1 0 1 0 4 r42r3 r2r3 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 00 2 6 0 00 0 0 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 下页

9. 矩阵初等变换举例 r1r2 1 1 2 1 4 r32 ~ 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 r2r3 r22 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 ~ ~ r32r1 r35r2 0 2 2 2 0 0 1 1 1 0 0 5 5 3 6 0 0 0 2 6 r43r1 r43r2 0 3 3 4 3 0 00 1 3 r3r4 r1r2 1 1 2 1 4 1 0 1 0 4 r42r3 ~ r2r3 ~ 0 1 1 1 0 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 00 2 6 0 00 0 0 0 00 0 0 可以证明 对于任何矩阵A总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 下页

10. ~ ~ r r ~ ~ c c • 矩阵初等变换举例 • 矩阵的标准形 对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0 比如上述行最简形矩阵经初等列变换得 下页

11. ~ ~ r r • 矩阵初等变换举例 • 行最简形矩阵与线性方程组的解 因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组 >>>完整解题过程 下页

12. ~ ~ r r • 矩阵初等变换举例 • 行最简形矩阵与线性方程组的解 所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的 结束