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パスカルの三角形 ~ 3 次元への拡張 ~ 2009.08.15 PowerPoint Presentation
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パスカルの三角形 ~ 3 次元への拡張 ~ 2009.08.15

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パスカルの三角形 ~ 3 次元への拡張 ~ 2009.08.15 - PowerPoint PPT Presentation

natalie-jacobson
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パスカルの三角形 ~ 3 次元への拡張 ~ 2009.08.15

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Presentation Transcript

  1. パスカルの三角形~3次元への拡張~2009.08.15 立命館高校 2年 池内 正剛

  2. 動機 • 去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何年後か!?”…指数関数 • 見栄えのいいものを目指して! できるもの。 • 3Dパズル・ミツバチがなぜ減っているのか?・  回転寿司の回転数と客の動員数の関係・3D数独 見て・触って・実感 3次元にこだわる!!

  3. 目的 • パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけられている。 • 2次元→3次元へ拡張した場合規則性は、どのように変化するのか? • 3次元ならではの規則性があるのか?

  4. パスカルの三角形 →1 1 • 各列の和は、2n-1である。 • 最初の列を除いて各段を横に見てみると11nになる。 • フィボナッチ数列 • 1.1.2.3.5.8…… →2 1 2 →4 3 →8 5

  5. 3次元への拡張~立体~ 2次元 3次元

  6. 3次元への拡張~平面~ 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目

  7. 性質の比較 • 各段落の合計について  ・2次元の時は、2n-1で求めることができる。  ・3次元の場合は、下表のようになる 表を見たら分かるように3次元にするとn段目の合計は3n-1

  8. 各段の個数について ・2次元では、1・2・3・4・5…というように各段落の個数が増加していく。 ・3次元の場合は、 1・3・6・10・15・21…となる。 ・このような数列を階差数列という。  階差数列は、2・3・4…となり   初項a=2 交差d=1 の階差数列になる。 3 4 5 2 6

  9. k=1 ・各段の個数は、an= a1+∑n-1 bkで求まる。 この数列{an}の段差数列を{bn}とすると、    {an}{bn}は…{an}=1・3・6・10・15… {bn}=2・3・4・5・6… {bn}は初項2,交差1の等差数列である。 よってbn=n+1 ゆえに n≧2の時 an=a1+ ∑n-1 (k+1)=1+ ∑n-1 k+ ∑n-1 1 =1+1/2(n-1)n+(n-1) an=1/2n2+1/2n 初項はa1=1なので、n=1も成り立つ。 k=1 k=1 k=1 an=1/2n2+1/2n

  10. 中央の個数 3段目 4段目 5段目 上の図のように、三角形で囲まれた部分を中央の個数とする。 そうすると、中央の個数は…1・2・3段目=0個 4段目=1個 5段目=3個 これを表にすると、 となる。

  11. 1~3段目までは、0個なので1段にまとめる(下表)1~3段目までは、0個なので1段にまとめる(下表) k=1 先ほども利用したan= a1+∑n-1 bkを利用する。 数列{an}=0・1・3・6…とすると階差数列{bn}=1・2・3・4… {bn}はa=1,d=1の等差数列である。 よって、bn=n ゆえに、n≧2のとき an=a1+ ∑n-1 (n) =0+ ∑n-1 (k) =0+ 1/2(n-1)n = 1/2n2-1/2n …① また、初項はa1=0なので、①はn=1のときも成り立つ。      以上により一般項は           k=1 k=1 an= 1/2n2-1/2n

  12. フラクタル図形 ・3次元でもフラクタル図形が現れるか調べる。 ・立体的な図ではわかりにくいので、 各段に分けて調べてみる。 ・3次元へ拡張した場合、         側面は2次元の場合と同じである。 ↑ 2次元のパスカルの三角形を 2で割った場合 白色・・・(奇数) 青色・・・(偶数)

  13. 3次元の場合 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目 • 2で割った場合 白色…奇数 青色…偶数 7段目 8段目 9段目 11段目 13段目 15段目 10段目 12段目 14段目 16段目 8段が1周期 フラクタル図形が現れる。 17段目 19段目 20段目 18段目

  14. 結果 • 3次元に拡張するとn段の合計が、3n-1で表わされることがわかった。 M次元→mn-1 • 各段の個数については、一般項an=1/2n2+1/2nで求めることができる。 • 中央の個数はan=1/2n2-1/2nで求めることができる。 • 中央の数の合計については、規則性がなく一般化できなかった。 • 3次元へ拡張したときでもフラクタル図形が現れる。  (1周期は8段)

  15. 考察 • 中央の数の合計を一般化する。 • 10段ぐらいまで自分で制作してみる。 • フラクタル図形をプログラムしてn段目でも求められるようにする。(他の数で) 20段目のMaxの値は36.832.392

  16. Thank you for listening