1 / 15

3-7 二元高次方程组 用线性方程组的理论讨论二元高次方程组 . 给出两个一元多项式有非常数公因式的条件。

3-7 二元高次方程组 用线性方程组的理论讨论二元高次方程组 . 给出两个一元多项式有非常数公因式的条件。. 引理 : 设 是数域 P 上的两个非零多项式 , 它的系数 a n ,b m 不全为零 , 则 f(x),g(x) 在 P[x] 中有非常数公因式的充分必要条件是 , 在 P[x] 中存在非零的次数小于 m 的多项式 u(x) 和次数小于 n 的多项式 v(x), 使. 证明 : 必要性 设 d(x) 是 f(x),g(x) 的非常数公因式 , 则 f(x)=d(x)f 1 (x) ;g(x)=d(x)g 1 (x),

nassor
Download Presentation

3-7 二元高次方程组 用线性方程组的理论讨论二元高次方程组 . 给出两个一元多项式有非常数公因式的条件。

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 3-7 二元高次方程组 用线性方程组的理论讨论二元高次方程组. 给出两个一元多项式有非常数公因式的条件。 引理:设 是数域 P上的两个非零多项式,它的系数an ,bm不全为零,则f(x),g(x)在P[x]中有非常数公因式的充分必要条件是,在P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和次数小于n的多项式v(x),使

  2. 证明:必要性 设d(x)是f(x),g(x)的非常数公因式,则 f(x)=d(x)f1(x) ;g(x)=d(x)g1(x), 其中 (f1(x) )<n; (g1(x))<m, 取u(x)= g1(x); v(x)= f1(x) , 则u(x)f(x)= g1(x) d(x) f1(x)=v(x)g(x) 即P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和次数小于n的多项式v(x),使

  3. *

  4. 把(*)看成是关于um-1,um-2,…,u0, vn-1,vn-2,…,v0的线性方程阻,则恰好是含m+n个未知量,m+n个方程式的线性方程组,存在非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零,即在P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和非零的次数小于n的多项式v(x),使得 U(x)f(x)=v(x)g(x) 的充分必要条件是系数行列式为零,系数行列式D的转置行列式就是

  5. **

  6. 对任意两个多项式 称行列式(**)为它们的结式,记为R(f,g)

  7. 定理9 设 是P[x]中两个多项式,m,n>0,它们的结式R(f,g)=0的充分必要条件是f(x)与g(x)在P[x]中有非常数的公因式或它们的首项系数全为零.

  8. 当P是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上的多项式f(x),g(x),结式R(f,g)=0的充分必要条件是f(x),g(x)在复数域上有公共根或它们的第一个系数全为零.当P是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上的多项式f(x),g(x),结式R(f,g)=0的充分必要条件是f(x),g(x)在复数域上有公共根或它们的第一个系数全为零. 结式提供了解二元高次方程组的一个一般的方法. 设f(x,y),g(x,y)是两个复数域上的二 元多项式,求方程组

  9. (***) 在复数域上的全部解. 设 其中系数是关于y的多项式,把它们看成x的多项式时,其结式是关于y的复系数多项式.

  10. 定理10 如果(x0,y0) 是方程组(***)的一个复数解,y0是结式Rx(f,g)的一个根; 反过来,如果y0是结式Rx(f,g)的一个复根,那么a0(y0)=b0(y0)=0,或者存在一个复数x0使(x0,y0) 是方程组(***)的一个复数解. 解二元高次方程组的一个方法. (1)求高次方程Rx(f,g)=0的全部根(y); (2)每个根带入到方程组再求(x).

  11. 例 求方程组 的解.

  12. 思考题 R(f,g)与R(g,f)关系是怎样? • 与一元多项式相仿,二元高阶线性方程组的解的个数与多项式的次数也有一点的联系,感兴趣的同学可以继续研究. • 作业:P156-24、26

More Related