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平面向量教学建议 ( 二）. 福建省厦门双十中学 张瑞炳. 建议六 : 把握向量在平面几何中的应用. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。. 与 共线. 且方向相同 。. （一）向量有关知识. 则. （ 1 ） 向量共线 : 若. （ 2 ）向量垂直：. （ 3 ）两向量相等：. （ 4 ）平面向量基本定理. （ 5 ）两个非零向量夹角公式：. D. D. B. A. A. B.
E N D
平面向量教学建议(二） 福建省厦门双十中学 张瑞炳
建议六:把握向量在平面几何中的应用 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
与 共线 且方向相同。 （一）向量有关知识 则 （1）向量共线:若 （2）向量垂直： （3）两向量相等： （4）平面向量基本定理
D D B A A B 四边形ABCD是菱形 四边形ABCD是矩形 C C
C C C B B B A A A 外心 重心 重心 D M O O M
④ O是三角形ABC的______ 。 垂心 通过三角形ABC的_________ ⑤ 内心
案例11： 分析：
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
C （一）应用向量知识证明平面几何结论 即 ，∠ACB=90° B A O 案例12 ：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 . 解：设 则 ， 由此可得：
已知：平行四边形ABCD。 求证： D C 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 B A 解：设 ，则 ∴ 案例13、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
P C 解：设 N 则 由此可得 B A M Q 即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 （二）应用向量解决三线共点、三点共线问题 案例14、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM.求证：P、A、Q三点共线
C A D B 故选A.
C A D B
建议七:提升综合应用向量解决问题的能力 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标， 体现了数形结合的思想。
a a - e t e e 解二： 解三：当然本题也可用建立坐标系求解
B Q 证：如图建立坐标系， 设 · G 所以重心G的坐标为 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知： 求得 由向量 可得： 化简得： 案例18：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：
故选C. 故选C.
案例22： 分析：
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。在高中数学体系中，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。在高中数学体系中，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
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