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第三章 证明(三)

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第三章 证明(三) - PowerPoint PPT Presentation


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第三章 证明(三). 2. 特殊的平行四边形(一). A. A. D. D. M. A. D. N. O. B. B. C. C. B. C. Q. P. 回顾 思考. 平行四边形的 性质. 定理 : 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴AB=CD,BC=DA. 定理 : 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′. 定理 : 平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ CO=AO,BO=DO.

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Presentation Transcript
slide1

第三章 证明(三)

2.特殊的平行四边形(一)

slide2

A

A

D

D

M

A

D

N

O

B

B

C

C

B

C

Q

P

回顾 思考

平行四边形的性质
  • 定理:平行四边形的对边相等.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AB=CD,BC=DA.

  • 定理:平行四边形的对角相等.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴∠A=∠C, ∠B=∠D.

定理:平行四边形的对角线互相平分.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴CO=AO,BO=DO.

定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.

∵MN∥PQ,AB∥CD,

∴AB=CD.

  • 证明后的结论,以后可以直接运用.
slide3

A

A

D

D

O

B

B

C

C

回顾 思考

平行四边形的判定
  • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
  • ∵AB=CD,AD=BC,
  • ∴四边形ABCD是平行四边形.
  • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
  • ∵AB∥CD,AB=CD,
  • ∴四边形ABCD是平行四边形.

定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

  • ∵AO=CO,BO=DO,
  • ∴四边形ABCD是平行四边形.

定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.

  • ∵∠A=∠C,∠B=∠D.
  • ∴四边形ABCD是平行四边形.
slide4

A

A

D

D

B

B

C

C

回顾 思考

等腰梯形的性质
  • 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
  • 在梯形ABCD中,AD∥BC,
  • ∵AB=DC,
  • ∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
  • 定理:等腰梯形的两条对角线相等.
  • 在梯形ABCD中,AD∥BC,
  • ∵AB=DC,
  • ∴AC=DB..
  • 证明后的结论,以后可以直接运用.
slide5

A

A

D

D

B

B

C

C

回顾 思考

等腰梯形的判定

定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

在梯形ABCD中,AD∥BC,

∵∠A=∠D或∠B=∠C,

∴AB=DC.

定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

在梯形ABCD中,AD∥BC,

∵AC=DB.

∴AB=DC.

  • 证明后的结论,以后可以直接运用.
slide6

A

∴DE∥BC,

D

E

B

C

回顾 思考

三角形中位线的性质
  • 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
  • ∵DE是△ABC的中位,
  • 这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.

模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.

要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.

slide7

1

我思,我进步

有一个角

是直角

有一个角

是直角

矩形

平行四边形

有一组

邻边相等

有一组

邻边相等

两组对边分别平行

菱形

四边形

等腰梯形

一组对边平行另一组对边不平行

正方形

梯形

直角梯形

两腰相等

腰与底垂直

四边形之间的关系
  • 四边形之间有何关系?
  • 特殊的平行四边形之间呢?
  • 还记得它们与平行四边形的关系吗?
  • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?
slide8

2

我思,我进步

A

D

B

C

矩形的性质
  • 定理:矩形的四个角都是直角.

已知:如图,四边形ABCD是矩形.

求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.

  • 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.

证明:

想一想:正方形的四个角都是直角吗?

∵ 四边形ABCD是矩形,

∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.

∴∠C=∠A=900,

∠B=1800-∠A=900,

∠D=1800-∠A=900.

∴四边形ABCD是矩形.

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3

我思,我进步

A

D

B

C

矩形的性质
  • 定理:矩形的两条对角线相等.

已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.

求证: AC=BD.

  • 分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.

证明:

∵ 四边形ABCD是矩形,

∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.

∵BC=CB,

∴△ABC≌△DCB(SAS).

∴AC=DB.

slide10

4

我思,我进步

A

D

E

B

C

直角三角形的性质
  • 议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
  • BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
  • 它与AC有什么大小关系?为什么?
  • BE等于AC的一半.

∵ AC=BD,BE=DE,

  • 由此可得推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
slide11

5

例题欣赏

A

D

O

B

C

∴∠ODA=∠OAD=

矩形性质的应用
  • 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.

求矩形对角线的长.

解:

∵四边形ABCD是矩形,

∴AC=BD,且

你认为例1还可以怎么去解?

∵∠AOD=1200,

∵∠DAB=900,

∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).

slide12

6

我思,我进步

A

D

B

C

矩形的判定
  • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形.

已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.

求证:四边形ABCD是矩形.

  • 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.

证明:

∵ ∠A=∠B=∠C=900,

∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800.

∴AD∥BC,AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴四边形ABCD是矩形.

slide13

我思,我进步7

A

D

B

C

矩形的判定
  • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形.

已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.

求证:四边形ABCD是矩形.

  • 分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
  • 证明:

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AB=CD,AB∥CD.

∵AC=DB,BC=CB,

∴ △ABC≌△DCB.

∴∠ABC=∠DCB.

∵∠ABC+∠DCB=1800.

∴∠ABC=900.

∴四边形ABCD是矩形.

slide14

8

我思,我进步

已知:CD是△ABC边AB上的中线,且

E

A

D

B

C

直角三角形的判定
  • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
  • 求证:△ABC是直角三角形
  • 分析:要证明△ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
  • 证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.

∵ AD=BD,CD=ED,

∴四边形ACBE是平行四边形.

∵AB=2CD,CE=2CD,

∴ AC=DB.

∴四边形ACBE是矩形.

∴∠ACB=900.

∴△ABC是直角三角形.

slide15

A

A

D

D

B

B

C

C

A

D

回顾 思考

B

C

矩形的性质,推论
  • 定理:矩形的四个角都是直角.
  • ∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.

  • 定理:矩形的两条对角线相等.
  • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.

∴AC=BD.

推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

在△ABC中,∠ACB=900,

∵AD=BD,

slide16

A

A

D

D

B

B

C

C

A

D

小结 拓展

B

C

矩形的判定,直角三角形的判定
  • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
  • ∵∠A=∠B=∠C=900,

∴四边形ABCD是矩形.

  • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
  • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB.

∴四边形ABCD是矩形.

  • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

在△ABC中,

∵AD=BD=CD,

∴∠ACB=900.

p 88 3 4 3

D

P

C

独立

作业

A

B

Q

P88习题3.4 3题.

已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q.

(1).求证:AP⊥PB;

(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少? △APB的面积是多少?