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§12.4.1 矩 阵

§12.4.1 矩 阵. 行列式. 线性方程组. 求解线性方程组的克莱姆法则. 注意： 1 ）方程的个数与未知数个数相等； 2 ）系数行列式不为零；. 重回消元法. 解线性方程组. 一、矩阵概念的引入. 1. 线性方程组. 的解取决于 系数 a ij 和 常数项 b j ( i =1, 2, ···, n , j =1, 2, ···, m ). 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为. 对线性方程组的 研究可转化为对 这张数表的研究. 到站. 发站. 其中 表示有航班.

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§12.4.1 矩 阵

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Presentation Transcript

  1. §12.4.1 矩 阵 行列式 线性方程组 求解线性方程组的克莱姆法则 注意：1）方程的个数与未知数个数相等；2）系数行列式不为零；

  2. 重回消元法 解线性方程组

  3. 一、矩阵概念的引入 1. 线性方程组 的解取决于系数aij和常数项bj ( i=1,2,···,n, j=1,2,···,m). 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 对线性方程组的 研究可转化为对 这张数表的研究.

  4. 到站 发站 其中 表示有航班. 2. 某航空公司在A, B, C, D四城市之间开辟了若干航线, 如图所示表示了四城市间的航班图, 如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接A与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示:

  5. 为了便于计算, 把表中的 改成1, 空白地方填上0, 就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况.

  6. 二、矩阵的定义 定义:由mn个数 aij ( i=1, 2, ···, m; j=1, 2, ···, n )排成的 m 行 n 列的数表: 称为m行n列的矩阵. 简称mn 矩阵. 记作 简记为: A=Amn = ( aij )mn = ( aij ). 这mn个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素.

  7. 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如: 是一个24实矩阵; 是一个33复矩阵; 是一个31(实)矩阵; 是一个14(实)矩阵; 是一个11(实)矩阵.

  8. 例如: 是一个3 阶方阵. 的方阵, 称为对角矩阵 (2) 形如 几种特殊矩阵 (1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n阶方阵. 也可记作An, (或对角阵), 其中1, 2, ···, n不全为零. 记作 diag(1, 2, ···, n) (3) 如果En=diag(1, 2, ···, n)=diag(1,1,···,1), 则称En为(n阶)单位矩阵, 或简称单位阵. 简记为E.

  9. 例如: (4) 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量). (5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, mn阶零矩阵记作Omn或O. (6) 设A=(aij )为 n 阶方阵, 对任意 i, j, 如果aij =aji都成立, 则称A为对称矩阵; 如果aij =–aji 都成立, 则称A为反对称矩阵; A为对称矩阵, B为反对称矩阵.

  10. 例1:设 例如: 为同型矩阵. 同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵. 2. 两个矩阵A=(aij )与B=(bij )为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij = bij ( i=1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n ) 则称矩阵A与B相等, 记作A=B. 已知A =B, 求x, y, z. 解:由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义, x=2, y=3, z=2. 得:

  11. 方阵 三、小结 (1) 矩阵的概念:m行n列的数表 行矩阵与列矩阵; 单位矩阵; (2) 特殊矩阵 对角矩阵; 零矩阵.

  12. 思考题 矩阵与行列式有何区别? 思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和列数可以不同.

  13. 矩阵在现实生活中的应用 • 条形码，二维码； • Excel表格 • 照片，图像

  14. §12.4.2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义:设两个同型的 mn矩阵A=(aij )与B=(bij ), 那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即 例如:

  15. (3) 说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算. 矩阵加法的运算规律 (1) 交换律: A+B=B+A. (2) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C). 称为矩阵A的负矩阵. (4) A+(–A)=O, A–B=A+(–B).

  16. 二、数与矩阵相乘 定义:数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作A 或A, 简称为数乘. 即 数乘矩阵的运算规律 设A, B为同型的mn矩阵, , 为数: (1) ()A = (A). (2) (+)A = A+A. (3) (A+B) = A+B. 矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算.

  17. 三、矩阵与矩阵相乘 定义:设A=(aij )是一个 ms 矩阵, B=(bij )是一个sn矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积 C=(cij )是一个mn 矩阵, 其中 ( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作C=AB. 例1: 例2:

  18. 不存在. 例如: 例3:求AB, 其中 注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘.

  19. 矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律: (AB)C=A(BC); (2) 分配律: A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; (3) (AB)=(A)B=A(B), 其中为数; (4) AmnEn = EmAmn = A; (5)若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k次幂, 即 并且满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m为正整数. 注意: 矩阵乘法不满足交换律, 通常:ABBA, (AB)k AkBk, (若 ，称为可交换) 因此, 则 例如:设

  20. 可能有 (2) (1) = ( ） 故, AB  BA. 例4:计算下列矩阵乘积: 解(1): 解(2): a11x1+a21x2+a31x3 a12x1+a22x2+a32x3 a13x1+a23x2+a33x3

  21. 例5: =(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3 当矩阵为对称矩阵时, 结果为 解:

  22. 由此归纳出 用数学归纳法证明. 当k=2时, 显然成立. 假设, 当k=n时结论成立, 对 k=n+1时,

  23. 所以对于任意的 k都有:

  24. 四、矩阵的其它运算 １、转置矩阵 定义:把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT. 例如: 转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;

  25. 例6:已知 求(AB)T. 解法1: 因为 所以 解法2: (AB)T=BTAT

  26. 由矩阵转置和对称矩阵的定义可得: 方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是: A=AT. 方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: –A=AT. 例7:设列矩阵X=(x1x2 ··· xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H=E–2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT =E. 证明: 因为 HT=(E–2XXT)T =ET–2(XXT)T =E–2XXT =H. 所以, H为对称矩阵. HHT =H2 = (E–2XXT)2 = E2 –E(2XXT)–(2XXT)E+(2XXT)(2XXT) = E–4XXT+4(XXT)(XXT) = E–4XXT+4X(XTX)XT = E–4XXT+4XXT = E

  27. 例如: 则 例7:证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和. 证明: 设 C=A+AT, 则 CT=(A+AT)T =AT +A=C, 所以, C为对称矩阵. 设 B=A–AT, 则 BT=(A–AT)T =AT –A=–B, 所以, B为反对称矩阵. 从而, 命题得证. 2、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .

  28. 方阵行列式的运算性质 (1) | AT | = | A|; (2) | A | = n| A|; (3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |. 3、伴随矩阵 定义: 行列式 |A| 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵 称为矩阵A 的伴随矩阵. 性质: AA*= A*A = |A|E. 证明: 设A=(aij), AA*=(bij).

  29. A*A= 定义:当 A=(aij) 为复矩阵时, 用 表示aij 的共轭复数, 记　　　 , 称 为A的共轭矩阵. 则 故 AA*=(|A| ij )= |A|(ij )=|A|E . 同理可得 = (|A|ij )=|A|(ij )=|A|E . 4、共轭矩阵 运算性质 设A, B为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的, 则:

  30. 加法 五、小结 数与矩阵相乘 矩阵运算 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵 注意 (1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算. (2) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两矩阵才能相乘, 且矩阵相乘不满足交换律. (3) 矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.

  31. 思考题 设A与B为 n 阶方阵, 等式A2–B2=(A+B)(A–B)成立的充要条件是什么? 思考题解答 答: 因为 (A+B)(A–B)=A2 +BA–AB–B2, 故等式A2 –B2 =(A+B)(A–B)成立的充要条件是: AB=BA.

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