( 向量代数与空间解析几何 )

1. (向量代数与空间解析几何)

2. 第七章 空间解析几何与向量代数 空间解析几何是学习多元微积分的重要基础，向量 代数能使物理学、数学等领域内的许多问题的解简捷 而直观.向量代数与解析几何的关系十分密切,一方面 需要用解析几何的坐标法来进行向量的运算,另一方面 向量代数又使解析几何有关问题的解法简明. 平面解析几何是用代数的方法研究平面上几何曲线 的一门学科.

3. 空间解析几何是用坐标方法研究空间曲面与曲线的空间解析几何是用坐标方法研究空间曲面与曲线的 一门学科.它通过空间坐标系为桥梁,建立了空间上 的点,向量与坐标之间的对应关系,进一步建立了空间 曲面和曲线及方程之间的联系.

4. 起点,M2为终点的向量,记作 M2 M1 第一节 向量及其线性运算 一. 向量的概念 在数学上,我们用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示 向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.例如以M1为

5. 自由向量,即只研究它的大小和方向, 而不考虑它的始点 位置的向量.在这里凡是大小相等方向相同的向量认为 是相等的,即向量a经过平移和b完全重合.向量a和向量b相等. 记作a=b 向量的大小叫做向量的模,向量a的模,记为|a|. 模等于1的向量叫做单位向量. 模为零的向量叫做零向量,记为0,零向量的起点和终点重合 ,它的方向可以为任意.

6. 两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量,两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量, 记为a∥b.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与 任何向量都平行. 当平行向量的起点放在同一点时,它们的 终点和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向 量共线.

7. 二 向 量 的 线 性 运 算 向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算. 1,向量的加法 规定:两个向量的加法运算, 以两向量为平行四边形的边, 对角线为它们的和.(称为平行四边形法). 把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量 的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形 法则)

8. b c c b a a c b d a a+b+c+d 向量加法的平行四边形法则与 三角形法则是一致的,这从上面 可明白地看出.但多个向量相加 时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次 首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点 为终点的向量即是所求的和向量.

9. c a 由图可知它们满足交换律a+b=b+a 和结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 2向量的减法 设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量 ,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差: a-b=a+(-b).特别是 a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到 向量a 上去

10. a -b a-b 3,数乘向量 设λ是一个数,向量a与λ的乘积λa规定为模是| λ·a|= |λ||a|的向量.当λ>0时, λa的方向与a相同,反之则相反.当 λ=0时, λ·a是零向量. 数乘向量符合下列运算规则: (1)结合律 λ(μa)=μ(λa)=(μλ)a (2)分配律 (λ+μ)a=λa+μa λ(a+b)=λa+λb

11. 两个向量如果在同一条直线上,或在平行直线上,就称这两两个向量如果在同一条直线上,或在平行直线上,就称这两 个向量共线或平行. 根据数乘向量的规定,可以得到如下的结论: (1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中 λ是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则有为a=λb.

12. 证明: 如果a=λb,依定义(自由向量,即只研究它的大小和 方向,而不考虑它的始点位置的向量.在这里凡是大小相等 方向相同的向量认为是相等的即向量a经过平移和b完全重合 .向量a和向量b相等..记作a=b )a与b同方向或反向,即a和b平行 ,如果λ=0则a为零向量,零向量与任何向量平行.所以向量a 和b平行. 反之,设a和b平行,如果a=b=0,则必有a=λb成立. 如果a和b中有一个为零向量.设a=0,有a=0·b=0.设a,b都不为 零向量,a∥b（表示同向或反向）

13. 又 方向相同时λ为正号,相反时λ为负号.所以有a=λb。 (2)设a0表示与非零向量a同向的单位向量,那么a=|a|a0 因为a≠0,所以|a| ≠0,又 且 a0和a同向,故a0是a的单位向量,于是a=|a|a0

14. e A B u u1 u2 o 1 例1 在u轴上取定一点o作为坐标原点,设A,B是u轴 上坐标依次为u1, u2的两个点,e是与u轴同方向的单位向量, 证明:点A的坐标为u1,即OA的值OA=u1,∴OA=u1e,OB=u2e ∴AB=OB-OA= u2e- u1e=(u2-u1)e

15. D C b M A B a 例2 设M是平行四边形ABCD的对角线交点,且 试用a和b表示向量 解: 由于平行四边形的对角线互相平分所以

16. A D E B C 例3:试证明三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半. 如果两个向量能表示为a=λb,则它们平行. 所以DE∥BC (1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中λ 是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则必为a=λb.

17. i x p 0 1 上面的结论(1)是建立数轴的理论根据, 我们知道,给定一个点, 一个方向及单位长度,就确定了一条数轴.由于一个单位 向量既确定了方向,又确定了单位长度, 因此,给定一个点及一 个单位向量就确定了一个数轴. 设点O及单位向量i确定了数轴 Ox, 对于轴上任一点P,对应一个向量OP, 由于OP∥i,根据结论 (1), 必有唯一的实数x,使OP=xi,并知道OP与实数x一一对应.

18. i A B x x1 x2 o 1 实数x 于是点P 向量OP=xi 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系,因此定义实数x 为轴上点P的坐标.由此可见,轴上点P的坐标为x的充分 必要条件是OP=xi 如果轴上有两点A,B,它们的坐标分别为x1和x2, 则向量AB=(x2-x1)i

19. 三,空间直角坐标系 一.空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立需要具备三个条件: (1)在空间里任选一点o为坐标原点; (2)在o点处作三条两两互相垂直的轴ox,oy,oz称为坐标轴; (3)在三个坐标轴上选定长度单位(三个轴上的长度单位可取 得不一样) 三个坐标轴的次序和方向按习惯用法,规定为按 右手法则排列,即右手握住z轴,四个手指从x轴的方向转到y 轴的方向时,拇指就指向z轴的正方向.

20. z y x 下两部分,上面的四个卦限按逆时针分成两个可以确定一 个平面,称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分,每一 个部分叫做一个卦限.xoy平面把它们分成上下两部分,上面 的四个卦限按逆时针分成1，2，3，4卦限；下面的四个卦限 按逆时针分成5，6，7，8卦限

21. z R K M H y o Q x N p 过空间的一点M分别作x轴y轴z轴的垂直平面,它们和三个 坐标轴的交点为x,y,z.则空间点M和有序数组x,y, z一一对应, x,y,z为点M的坐标,记作M(x,y,z),[op=xi,oQ=yj,oR=zk,r=OM =xi+yj+zk,称为向量r的坐标分解式, xi,yj,zk称为向量r沿三 个坐标轴的分向量,原点为o(0,0,0).

22. 特殊点的坐标. (1)坐标面上的点. xoy面上的点因它与oz轴相交于坐标原点, 其竖坐标为0,即z=0.它的坐标为(x,y,0). yoz面上的点的坐标为(0,y,z) zox面上的点的坐标为(x,0,z) (2)坐标轴上的点. x轴上的点它和y,z轴相交都是原点,于是它的坐标为(x,0,0), y轴上的点的坐标为(0,y,0) z轴上的点的坐标为(0,0,z)

23. 四. 利用坐标作向量的线性运算 利用向量的坐标,可得向量的加法,减法以及向量与数的乘法 运算如下:设 a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz) 即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk 利用向量加法的交换律与结合律,向量的数乘结合律与 分配律,有

25. 由此可见,对向量进行加,减及数乘,只需要对向量的各个坐由此可见,对向量进行加,减及数乘,只需要对向量的各个坐 标分别进行相应的数量运算即可.当向量a≠0时,向量b∥a相 当于b=λa,坐标式为 (bx,by,bz)=λ(ax,ay,az), 相当于向量b与a对应的坐标成比例

26. x-3y=a 3x-2y=b 例5 求解以向量为未知元的线性方程组 其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2) 解:

27. 例6 已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1, z A M B o y x 在直线AB上求点M,使 解:

28. z R2 R R1 M2 Q M1 y p p1 Q1 o Q2 N x p2 五. 向量的模,方向角,影 1.向量的模与两点间的距离公式 设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间的两个点.现在用坐标 表示它们之间的距离d. 过M1,M2分别作三个垂直 平面,这6个平面形成一个长方体.

30. 特殊地,点M(x,y,z)和坐标原点o的距离为 例 7 在z轴上求和点A(1,-4,2)和点B(5,3,-7)等距离的点. 分析:设点M(0,0,z)在z轴上.依题意得到 所求的点为M(0,0,-31/9)

31. 例8 求证以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的 三角形是一个等腰三角形. 解: 故 为等腰三角形.

32. 1)两向量的夹角 2.方向角与方向余弦 设有两个非零向量a,b,任取空间一点O,作OA=a,OB=b,规定 不超过π的∠AOB(设φ= ∠AOB,0≤ φ ≤ π)称为向量a和 b的夹角,记作 (a,b)或(b,a)即(a,b)=φ,如果向量a与b中有一个 是零向量,规定它们的夹角可在0与π之间取任意值. 类似地,可规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.

33. z y B M b γ β α φ N o o A x a p 非零向量r与三条坐标轴的夹角α,β,γ称为向量r的方向角. 设r=(x, y,z),由于x是有向线段OP的值,MP⊥OP,故

34. 例9 已知两点M1(2,2,√2)和M2(1,3,0),计算向量M1M2的模, cosα,cosβ,cosγ称为向量r的方向余弦,上式表明,以向量 r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e,并 由此得到 方向余弦和方位角. 解:

35. A α u A’ 3 向量在轴上的投影 (1)点在轴上的投影 设已知空间一点A及一轴u,过点A作轴u的垂直平面α, 那么,平面α与轴u的交点A’ 就叫做点A在轴u上的投影. (2)向量在轴上的投影

36. (2)向量在轴上的投影 设已知向量AB,始点A和终点B在轴u上的投影分别为点A1 和点B1那么,轴上的有向线段A1B1的值A1B1=±| A1B1|, 叫做向量AB在轴u上的投影 (和u同向取正号,异向取负号)记作PrjuAB=A1B1 轴u叫做投影轴. 值是一个正或负的实数,其绝对值等于向量AB的长度, 其正负号由向量AB的方向决定:向量AB与u同向取正号. 反之则负.

37. A B u A1 B1 φ B u’ A B2 u A1 B1 3. 投影定理 定理1 向量AB在轴u上的投影等于 向量的模乘以轴与向量夹角φ的 余弦: PrjuAB=|AB|cosφ 证明: 过向量AB的起点A引一条与 轴u正向一致的轴u’.那么,轴u和向量 AB的夹角等于轴u’和向量AB的 夹角φ, 夹在两平行平面之间的线段相等, 即 A1B1=AB2, 有 PrjuAB = Prju’AB=|AB|cosφ

38. B A φ B2 C u’ B A u B1 C1 A1 AB和轴u成锐角时投影为正反之为负 投影定理2 两个向量和在轴上投影等于两向量在该轴上之 和即 Prju (a1+a2)=Prju a1+Prju a2 证明:

39. 定理2(1) 有限个向量的和在轴上的投影,等于各个向量在该轴 上投影的和 即 ： Prju(a1+a2+..+an)=Prjua1+ Prjua2+...+ Prjuan 推广 :Prju(k1a1+k2a2+..+kn an)=k1 Prjua1+k2 Prjua2+...+knPrjuan 定理3 向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上 的投影与数的乘积,即: Prju(λa)=λPrjua

40. 证明:设a与u轴的夹角为φ,λa与u轴的夹角为φ1 当λ>0时,φ1=φ 当λ<0时,φ1=π-φ(此时λa与a反向) 所以λ>0时, Prju(λa)=|λa|cosφ=λ|a|cosφ=λPrjua λ<0时, Prju(λa)=| λa|(-cosφ)=-λ|a|(-cosφ)=λPrjua λ=0时, Prju(λa)=0=λPrjua