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第十讲 四边形（二）

第十讲 四边形（二）. 复习目标. 1 ．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质 . 2 ．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题. 知识要点. 1 ．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分 . 2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形 ; 四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形 . 正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质. A. D. E. O. B. C. 典型例题.

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第十讲 四边形（二）

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  1. 第十讲 四边形（二）

  2. 复习目标 1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题.

  3. 知识要点 1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分.2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质.

  4. A D E O B C 典型例题 例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：45°

  5. D G H A O C E F B 典型例题 例2 如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，过O分别作各边的垂线，垂足分别为E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形. 分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形，而OE、OF、OH、OG都是直角三角形斜边上的高，故OE=OF=OG=OH，即证明四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD，OD=OB，OA=OC 且 AC⊥BD ∴ Rt△AOD≌Rt△AOB≌Rt△COD ≌Rt△COB ∵ OE、OF、OG、OH分别是三角形斜边上的高 ∴ OE=OF=OG=OH ∴ 四边形EFGH是矩形

  6. A E G B C F D 典型例题 例3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F． 求证：四边形AEFG是菱形． 分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等． 证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB， ∴AE=EF，∠CEA=∠CEF． ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥AD， ∴∠CEF=∠AGE．∴∠CEA=∠AGE． ∴AE=AG．∴EF∥AG，且EF=AG． ∴四边形AEFG是平行四边形． 又∵AE=EF， ∴平行四边形AEFG是菱形．

  7. A D N O M B C 典型例题 例4 已知： 如图，O为ABCD对角线BD的中点，MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N．求证：四边形DNBM是菱形． 分析：已知MN为BD的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，又由△DOM≌△BON，得DM=BN，即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论. 证明：∵MN为BD的垂直平分线 ∴DM=BM，DN=BN 又∵△DOM≌△BON ∴DM=BN， ∴DM=BM=BN=DN． ∴四边形DNBM是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）

  8. A D G E H B F C 典型例题 例5 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H.求证：AH＝AD. 分析：因为A是DG的中点，故在△DGH中，若AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH为直角三角形.

  9. A D Q E B C P 典型例题 例6 如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ. 分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明.

  10. D A O E B C 能力训练 一、填空题： 1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为. 2、已知菱形的锐角是60°，边长是20cm，则较短的对角线长是cm. 3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝ cm，则DE＝cm.

  11. A D A P B D E B C F C 能力训练 4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝. 5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF＝.

  12. C E B D D` F C C` A A` A D B` B 能力训练 6、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE＝AC，AE与CD边相交于F点，那么CE∶FC＝. 7、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝ ，则正方形移动的距离是 .

  13. 能力训练 8、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA.其中能判断它是正方形的题设条件是（把正确的序号填在横线上）.

  14. 能力训练 二、选择题： 9、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（ ） A、仅能作一个 B、可以作四个 C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个

  15. D A P Q B C 能力训练 10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB. A、1 B、2 C、3 D、4

  16. E D A C B F G 能力训练 11、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ） A、4cm、 cm B、5cm、 cm C、4cm、 cm D、5cm、 cm

  17. 能力训练 12、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中正确的命题有（ ） A、①② B、③④ C、③ D、①②③④ 13、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形

  18. A D E B C F G 能力训练 三、解答题： 14、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.

  19. A D G F B E C 能力训练 15、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G. 求证：四边形GECF是菱形.

  20. E F D A B C 能力训练 16、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

  21. C C D D N N A A M B B E E M 能力训练 17、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N. （1）求证：MD＝MN； （2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

  22. A D P F B E C 能力训练 18、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F. 求证：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF.

  23. D C A B F E 能力训练 19、如图，过正方形ABCD 的顶点B作BE∥CA，作AE＝AC，又CF∥AE， 求证：∠BCF＝1/2∠AEB.

  24. 参考答案 一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解； 5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF是等边三角形. 6、 ；7、 ；8、②

  25. 参考答案 二、DDBBA 三、解答题： 14、可证△DEA≌△ABF 15、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形，又因EG＝FG，故GECF是菱形.

  26. 参考答案 （2）成立，如图2，在AD上取DF＝MB，则易知：∠1＝ 900－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝900，∴∠1＝∠2，又∠ DMF＝450－∠1，∠MNB＝450－∠2，∴∠DMF＝∠MNB， 又DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故MD＝MN. 16、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝150°；（3）当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在. 17、（1）如图1，取AD中点F，连结MF，由MN⊥DM得∠DAM＝90°，易证∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝45°－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝45°－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN.

  27. 参考答案 18、略证：延长AP与EF相交于点H，连结PC，因为BD是对角线，易证PA＝PC，∠1＝∠2，根据PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF为矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因为∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3＝∠4＋∠1＝90°，所以△PHF为直角三角形，故AP⊥EF.

  28. 参考答案 19、提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形.

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