유체역학 환경공학과 20071518 한승희

1. 유체역학환경공학과 20071518 한승희 제3장 숙제 및 예제풀이

2. 유동의 종류를 설명하고, 유선방정식을 유도하라 工學(공학)의 실제 문제에서 대부분의 유동은 난류운동(turbulent flow)이다. 난류운동에서 유체입자(작은 질량 덩어리)는 매우 불규칙한 行路(행로)를 따라 움직이면서 유체의 한 부분으로부터 다른 부분으로 운동량을 수송한다. 층류유동(laminar flow)에서는 유체입자가 얇은 층을 이루며 원할한 (行路)행로를 따라 움직이고, 이웃하는 층과 층은 매끄럽게 미끄러지면서 흐른다. 층류에서 점성의 작용은 난류로 되려는 경향을 억제시킨다. 理想流體(이상유체)(ideal fluid)는 마찰이 없는 비압축성유체이다. 그리고 완전기체와 혼동해서는 안 된다. 이상유체의 가정은 항공기나 잠수함처럼 광활한 공간속에서 유체유동을 해석할 경우에 유용하다. 마찰이 없는 유체는 점성이 없기 때문에 그 유동과정은 가역적이다.

3. 정상유동(steady flow)은 유체내의 임의점에서 유동조건이 시간에 따라 변하지 않을 때 일어난다. 예컨대, 정상유동을 하는 유체의 어느 점에서 속도가 +x 방향으로 3m/s이면 그 점에서의 속도의 크기와 방향은 시간이 경과하더라도 정확히 같은 값을 유지한다. 수식으로는 dv/dt = 0 와 같이 표현할 수 있다. 여기서 공간 (그 점의 x,y,z좌표) 은 일정하게 유지한다. 마찬가지로 정상유동에서 임의점의밀도 ρ, 압력 Ρ및 온도 T도 시간에 따라 변하지 않는다 따라서, 난류운동에서는 유체입자의 불규칙한 운동 때문에 임의점에서 항상 작은 변동을 수반한다. 이와 같은 변동을 고려하여 정상유동에 대한 정의는 다소 일반화해야 할 것이다. 이것의 한 예로서 난류유동을 하는 어떠한 점에서, 속도의 시간에 대한 변화가 그림 3.1과 같이 주어졌다고 하자.

4. 만일, 시간평균속도가 시간에 따라 변하지 않고 그림과 같이 수평선으로 그려질 때, 이 유동을 정상유동으로 정의한다. 밀도, 압력, 온도 등에 대해서도 같은 방법으로 윗식의 v대신 그들 값을 대입함으로써 정상유동의 정의를 일반화할 수 있다. 대신 그들 값을 대입함으로써 정상유동의 정의를 일반화할 수 있다.

5. 비정상유동(unsteady flow, 부정류)이란 임의점에서의 유동조건이 시간에 따라 변하는 유동이다. 즉, 이다. 고정된 계를 통하여 일정 유량으로 양정되는 물은 정상유동의 한 예이고, 유량을 증가시키면서 양정되는 물은 비정상유동의 한 예이다. 등류유동(uniform flow)은 임의의 주어진 순간에 대하여 모든 점에서 속도벡터가 동일(크기 및 방향)한 유동이다. 방정식으로는 와 같다. 여기서 시간은 상수로 유지하고 는 임의 방향의 변위이다. 이 방정식이 의미하는 것은 임의 순간 流體內(유체내)의 임의 방향을 따라가면서 관측하더라도 속도의 변화가 없다는 것이다. 반면 어느 한 점에서의 속도가 시간에 따라 어떻게 변하는가는 전혀 설명하지 않고 있다. 임의 순간에 속도벡터가 위치에 따라 변하는 유동 을 부등류(nonuniform flow)라 한다. 액체를 긴 導管(도관)으로 퍼 올릴 때는 등류가 된다. 반면에 단면적이 감소하는 관이나 曲管(곡관)을 흐르는 액체는 부등류가 된다. 流線(유선)(streamline)이란 각 점에서의 접선이 속도벡터의 방향과 일치하도록 유체내에 그려진 連續線(연속선)이다. 따라서 유선을 횡단하는 흐름은 있을 수 없다. 임의 순간에 한 유체입자는 유선방향으로 움직이므로 성분 를 갖는 流線上(유선상)의 변위 는 x,y,z방향의 성분이 각각 u,v,w인 속도벡터 q의 방향을 갖는다. 그러므로

6. 이다. 이는 대응하는 각 성분들이 비례하고, 따라서 동일방향임을 의미한다. 변위를 미분형태로 표현하면 이 된다. 이 방정식을 流線(유선)의 방정식이라 한다. 식 (3.1.3)은 두 개의 독립한 방정식을 부여한다. 식 (3.1.3)을 만족하는 연속선은 유선이 된다. 정상유동에서는 임의점에서 속도벡터의 방향이 불변이므로, 유선은 임의의 점에서 기울기는 고정된 값을 갖는다. 따라서 유선은 공간속에서 고정되게 된다. 유체입자는 항상 유선에 접하여 운동하므로, 정상유동에서는 한 입자의 流動經路(유동경로)(流跡線(유적선))(path of a particle; path line)는 유선이 된다. 비정상유동에서는 임의점에서의 속도벡터의 방향이 시간과 더불어 변하므로, 유선은 공간내에서 시시각각 위치와 방향을 바꾸게 된다. 따라서 한 유체입자는 어느 순간 한 유선을 따라 움직이다가 다음 순간에는 다른 유선과 운동하게 되어 결국 그 유체입자의 流動經路(유동경로)(流跡線(유적선)는 주어진 순간 유선과 일치하지 않는다. 유체의 운동을 추적하기 위하여 물감이나 연기를 유동중에 분출시키는 경우가 있다. 이때 물감이나 연기가 흘러간 자국을 流脈線(유맥선)(streak line)이라 한다. 정상유동에서 流脈線이 유선 및 流跡線과 일치한다.

7. 가우스정리를 그림을 이용하여 설명하라.

9. 적분방법을 이용하여 유체 흐름에 있어서 일반적인 특성의 보전식을 유도하라. 이 보전식의 각 항이 의미하는 것을 설명하라. 유동의 성질에 관계없이 모든 유동현상은 다음 관계들을 따라서 흐른다. 이들 관계들을 해석적 형태로 표현하면 다음과 같다. 1. Newton 의 운동법칙 - 모든 순간에 모든 입자에 대하여 성립하여야 한다. 2. 연속방정식, 즉 질량보존의 법칙 3. 열역학 제 1, 제 2 법칙 4. 경계조건 ; 실제유체 유동의 경우, 경계에서 경계면에 대한 상대속도가 0이라는 조건 또는 마찰이 없는 유체유동의 경우, 경계에서 경계면에 수직한 속도성분이 0이라는 조건(流體(유체)는 경계면을 통과할 수 없다). 상태방정식이나 Newton의 점성법칙과 같은 기타의 보조관계나 방정식이 경우에 따라 적용될 수가 있다. 계와 적용한 방정식들과 검사체적에 적용한 방정식들 사이의 관계를 공식화하기 위하여 그림 3.3과 같은 어떤 일반적 유동을 생각해 보자.

10. 그림 3.3 速度場(속도장)에서 시간t에 검사 체적과 일치하는 계

11. 그림에서 유체의 속도는 xyz 좌표계에 대한 속도로 주어졌다 임의 시각 t에 관측대상으로서 어느 유체의 질량을 선정할 때 이것은 계가 된다. 그림에서 계의 경계를 점선으로 표시하였다. 한편 시각에서 계가 점유했던 공간을 검사체적으로 택한다. 검사체적은 xyz 좌표계에 대하여 고정된다는 것에 유의하기 바란다. 시각 t+δt에서는 계가 얼마간 이동되어 있을 것이다. 왜냐하면 각 질량입자가 그 위치에 관련하는 어떤 속도를 가지고 움직이기 때문이다. N을 시각 t에서 계가 포함하고 있는 어떤 특성값(질량, 에너지 및 운동량)의 총량이라 하고 유체의 단위질량당 특성값을 라 하자. 그러면 계가 가지는 특성값N의 시간증가율은 검사체적에서 관측한 물리량의 항으로 공식화 할 수 있다. 그림 3.3(b)에 보인 것처럼, 시각 t+δt에서 계는 체적 Ⅱ와 Ⅲ을 점유하게 될 것이다. 그러나 시각 t에서 계는 그림 3.3(a)의 체적 Ⅱ를 점유할 것이다. 따라서 δt시간 동안 계가 가지는 특성 N의 증가는 .

12. 왼쪽 항은 δt시간 동안 계가 포함하는 N의 평균시간증가율을 나타낸다. 그러므로 δt가 0으로 접근할 때. 극한값은 dN/dt가 된다. 방정식의 우변 제 1 항에 대하여, δt가 0으로 접근할 때의 극한을 취하면, 처음 두 적분은 시각 t+δt에서 검사체적에 내포되어 있는 특성값 N의 양이고, 제3의 적분은 시각 t에서 검사체적 내에 포함되어 있는 N의 양이다. 그러므로 그 극한값은 다음과 같다.

15. 식 (3.2.6)은, 계가 갖는 특성값N의 시간증가율은 검사체적(xyz에 대하여 고정)내에서의 특성값N의 시간증가율과 검사체적 경계면을 관류하는 단위시간당 N의 正味流出量(정미유출양)과의 합과 같다는 것을 의미한다.

16. 일반적인 특성의 보전식을 질량에 대하여 적용하고, 적용된 식의 각 항을 설명하라.

17. 미분적인 해석방법을 이용하여 3차원 연속방정식을 유도하라.