第二章光栅图形学

第二章光栅图形学 2.1直线段的扫描转换算法 2.2圆弧的扫描转换算法 2.3多边形的扫描转换与区域填充 2.4字符 2.5裁剪 2.6反走样 2.7消隐重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

基本概念 • 图形的显示:光栅图形显示器上显示的图形都是具有一种或多种颜色的像素集合 • 光栅图形学的几个重要概念 • 光栅化(或图形的扫描转换):确定最佳逼近图形的像素集合,并用指定属性写像素的过程称为图形光栅化(或图形的扫描转换). • 区域填充:二维图形的光栅化必须确定区域对应的像素集,并用指定的属性或图案显示. 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

基本概念 • 光栅图形学的几个重要概念 • 裁剪:确定一个图形的哪些部分在窗口内,必须显示,那些部分落在窗口之外,不用显示的过程. • 走样:对图形进行光栅化时,由于显示器的空间分辨率有限,对于非水平、垂直、+45O的直线，因像素逼近误差，使所画图形产生畸变的显现称为走样 • 反走样：用于减少或消除走样的技术称为反走样。 • 消隐：重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

光栅图形学的研究内容 • 直线段的扫描转换算法 • 圆弧的扫描转换算法 • 多边形的扫描转换与区域填充 • 字符 • 裁剪 • 反走样 • 消隐重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

2.1 直线段的扫描转换算法 • 直线的扫描转换: 确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作。 • 三个常用算法：数值微分法（DDA）中点画线法 Bresenham算法。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

2.1.1 数值微分(DDA)法 • 基本思想已知过端点的直线段L：直线斜率为从的左端点开始，向右端点步进。步长=1(个象素)，计算相应的y坐标；取象素点(x, round(y))作为当前点的坐标。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

计算量分析： • 每个点计算量：上边的算法每个点需要 • 一个“+” • 一个“*” • 用到浮点数的乘法、加法和取整运算 • 作为最底层的光栅图形算法，在通常的CAD/图形系统中，会被大量应用，因此，哪怕节约一个加法或减法，也是很了不起的改进。 • 由此出发点，导致增量算法的思想。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

增量算法的思想 设步长为计算当时; 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；计算量：每个点只有一个“+” 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

例题例：画直线段 x int(y+0.5) y+0.5 0 0 0 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 5 2 2.0+0.5 注：网格点表示象素重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

DDA算法程序 void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)  int x； float dx, dy, y, k; dx = x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x++)  drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k;   重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

增量算法的缺点 注意上述分析的算法仅适用于k≤1的情形。在这种情况下，x每增加1, y最多增加1。当 k1时，必须把x，y地位互换 • 缺点： • 有浮点数取整运算 • 不利于硬件实现 • 效率低 • 仅适用于k≤1的情形:x每增加1,y最多增加1。当 k1时，必须把x，y互换。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

2.1.2 中点画线法 采用增量思想的DDA算法，每计算一个象素，只需计算一个加法，是否最优？如非最优，如何改进？目标：进一步将一个加法改为一个整数加法。新思路－> DDA算法采用两点式，可否采用其他的直线表示方式？重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

M • 基本思想当前象素点为(xp, yp) 。下一个象素点为P1或P2。设M=(xp+1, yp+0.5)，为p1与p2 之中点，Q为理想直线与x=xp+1 垂线的交点。将Q与M的y坐标进行比较。 • 当M在Q的下方，则P2 应为下一个象素点； • M在Q的上方，应取P1为下一点。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

M 构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0 当d<0，M在L(Q点)下方，取右上方P2为下一个象素；当d>0，M在L(Q点)上方，取右方P1为下一个象素；当d=0，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

但这样做，每一个象素的计算量是4个加法，两个乘法。但这样做，每一个象素的计算量是4个加法，两个乘法。 “山穷水尽疑无路” d=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

如果也采用增量算法呢？ 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

d是xp, yp的线性函数，因此可采用增量计算，提高运算效率。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

M • 若当前象素处于d0情况，则取正右方象素P1 (xp+1, yp), 要判下一个象素位置，应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a；增量为a • 若d<0时，则取右上方象素P2 (xp+1, yp+1)。要判断再下一象素，则要计算 d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ；增量为a＋b 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

至此，至少新算法可以和DDA算法一样好。 • 能否再做改进？重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

能否实现整数运算？ 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b =a+0.5b。可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。令 d0=2a+b, d1=2a, d2=2a+2b,我们有如下算法。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int a, b, d1, d2, d, x, y; a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b; d1=2*a, d2=2* (a+b); x=x0, y=y0; drawpixel(x, y, color); while (x<x1) { if (d<0) {x++, y++, d+=d2; } else {x++, d+=d1;} drawpixel (x, y, color); } /* while */ } /* mid PointLine */ 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

例：用中点画线法 i xi yi d 1 0 0 1 2 1 0 -3 3 2 1 3 4 3 1 -1 5 4 2 5 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

中点画线法的真实执行过程 • 直线上方点： F(x,y)＞0 直线下方点: F(x,y)＜0 • 构造判别式： d=F(M)=F(Xp+1,Yp+0.5) • 由d＞0，d＜0可判定下一个象素 P2 M (Xp+1,Yp+0.5) P1 P 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

中点画线法的优点 • 优点： • 只有整数运算，不含乘除法 • 可用硬件实现重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

2.1.3 Bresenham算法 • 基本思想 • DDA算法采用点斜式，中点法采用隐式表示。 • 中点法可以有整数算法。 • 其他表示可以推出整数算法吗？重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

设直线方程为： ，其中k=dy/dx。因为直线的起始点在象素中心，所以误差项d的初值d0＝0。 X下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。 • 当d≥0.5时，最接近于当前象素的右上方象素（） • 而当d<0.5时，更接近于右方象素（）。为方便计算，令e＝d-0.5， e的初值为-0.5，增量为k。 • 当e≥0时，取当前象素（xi，yi）的右上方象素（）； • 而当e<0时，更接近于右方象素（）。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换： 例：Line: P0(0, 0), P1(5,2) k=dy/dx=0.4 x y e 0 0 -0.5 1 0 -0.1 2 1 0.3 3 1 -0.3 4 2 0.1 5 2 -0.5 大于零，y加一，小于零，不变重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0, dy = y1- y0, k=dy/dx; e=-0.5, x=x0, y=y0; for (i=0; idx; i++) { drawpixel (x, y, color); x=x+1，e=e+k; if (e0) { y++, e=e-1;} } } 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

最终，Bresenham算法也是每个象素，需一个整数算法，最终，Bresenham算法也是每个象素，需一个整数算法，其优点是可以用于其他二次曲线。重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

新方法： BRDC: binary representation of displacement code for line Miao LF, Liu XG, Peng QS, Bao HJ COMPUTERS & GRAPHICS-UK 26 (3): 401-408 JUN 2002 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

y (-x,y) (x,y) (-y,x) (y,x) R x o (-y,-x) (y,-x) (-x,-y) (x,-y) 2.2 圆弧的扫描转换算法 • 圆的八对称性 • 只考虑第二个八分圆假设圆心在原点 x2+y2=R2 circlepoints (x,y,color) { drawpixel (x,y,color); drawpixel (y,xcolor); drawpixel (-x,y,color); drawpixel (y,-x,color); drawpixel (x,-y,color); drawpixel (-y,x,color); drawpixel (-x,-y,color); drawpixel (-y,-x,color); } 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

2.2 圆弧的扫描转换算法 • 圆的特征:八对称性。只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的象素集 • 中点画圆法考虑中心在原点，半径为R 的第二个8分圆， • 构造判别式（圆方程）重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

若 d<0, 则取P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为若d>=0, 则应取P2为下一象素，而且下一象素的判别式为第一个象素是（0,R），判别式d的初始值为重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

算法过程 MidPointCircle(int r int color) { int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; circlepoints (x,y,color); //显示圆弧上的八个对称点 while(x<=y) { if(d<0) d+=2*x+3; else { d+=2*(x-y)+5; y--;} x++; circlepoints (x,y,color); } } 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。 • 使用e=d-0.25代替d • e0=1-R 重庆文理学院数学与计算机科学系计算机图形学

第二章 光栅图形学