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第三节 初等多值函数

复变函数. 第三节 初等多值函数. 1 幂函数 2 根式函数. 因此，对同一个 的不同数值的个数等于 不同数值的因子 的个数. 1 幂函数. 利用对数函数，可以定义幂函数：设 a 是任何复数，则定义 z 的 a 次幂函数为. 当 a 为正实数，且 z=0 时，还规定. 由于. 幂函数的基本性质. 设在区域 G 内，我们可以把 Ln z 分成无穷个解析分支 . 对于 Ln z 的一个解

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第三节 初等多值函数

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  1. 复变函数 第三节 初等多值函数 • 1 幂函数 • 2 根式函数

  2. 因此，对同一个 的不同数值的个数等于 不同数值的因子 的个数. 1 幂函数 利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为 当a为正实数，且z=0时，还规定 由于

  3. 幂函数的基本性质

  4. 设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支.对于Lnz的一个解设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支.对于Lnz的一个解 析分支，相应地 有一个单值连续分支.根据复合函数求导法则， 的这个单值连续分支在G内解析，并且 其中 应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为 对数函数相应的分支.

  5. 在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函 数 在G内有无穷多个解析分支是一个无穷值多值函数. 对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时， 在G内是同一解析函数；当 时，

  6. 2 根式函数 形如 这是一个n值函数.

  7. 在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内， 它有n个不同的解析分支： 它们也可以记作 这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相 应的连续分支在该处所取的值一致.

  8. 支点 当a不是整数时，原点及无穷远点是 的支点. 但按照a是有理数或者a不是有理数，这两个支点具有完全 不同的性质. 为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域 内，任作一条简单闭曲线C围绕0或无穷远点.在C上任取一点， 确定Argz在 的一个值 相应地确定 在 的一个值

  9. 代数支点

  10. 当a不是整数时，由于原点和无穷远点是 的支点， 所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为 割线， 得一个区域 .在 内，可以把 分解成解析分支. 无穷阶支点 (2) a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是 的无穷支点.

  11. 幂函数的映射性质 关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论： 设 是一个实数，并且 在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个 区域D*.考虑D*内的角形， 并取 在D*内的一个解析分支

  12. 当z描出A内的一条射线时 （不包括0）， w在w平面描出一条射线  让 从0增加到 （不包括0及 ），那么射线l扫过角形A， 而相应的射线 扫过角形

  13. 因此 把夹角为 的角形双射成一个夹角为 的角形， 同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧.

  14. 类似地，我们有，当n(>1)是正整数时， 的n个分支 分别把区域D*双射成w平面的n个角形

  15. 例1 作出一个含i的区域，使得函数 在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在 点i个的值. 解：我们知道 可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图

  16. 结论：0、1、2与无穷都是1阶支点.

  17. 因此也可以用 与 作割线. 可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函 数可以分解成单值解析分支.同时，我们注意到

  18. 我们求函数下述的解析分支 在z=i的值.在z=1处，取 在w的两个解析分支为：

  19. 如下图， 所以

  20. 例2 验证函数 在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出这个分支 函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函 数在（0，1）下沿的值. 解：我们知道

  21. 结论：0、1是3阶支点，无穷远点不是支点.

  22. 因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支； 若在（0，1）的上沿规定 在w的四个解析分支为： 则对应的解析分支为k=0.在z=-1处，有 所以

  23. 对应分支在(0,1)下沿的取值为

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