Komplexe Zahlen und Fourier-Transformation

1. Komplexe Zahlen und Fourier-Transformation Mathematische Grundlage

2. Inhalt • Exponentialschreibweise eines Vektors • Eulersche Beziehung • Fourier Transformation

3. Anwendung der komplexen Zahlen: Der Strukturfaktor

4. Komplexe Zahlen Imaginäre Zahlen Länge des Vektors: │F│ Phasenwinkel φ Reelle Zahlen Sinnvoll, wenn zwei Größen, Betrag und Winkel, mitzuteilen sind: erfordert einen Vektor mit zwei Komponenten Geeignete Codierung von Betrag und Winkel: Komplexe Zahl

5. Die Eulersche Beziehung

6. Die Fourier Transformation

7. Fourier Rück-Transformation

8. f(x) x 2 3 4 5 6 1 Bedingung für die Existenz der Fourier-Transformierten Fourier-Transformierbar • Das Definitionsintervall kann in endlich viele Intervalle unterteilt werden, in denen f(x)stetig und monoton ist. • An jeder Unstetigkeitsstelle xν sind die Grenzwerte zu beiden Seiten definiert • Das Integral konvergiere

9. 2 3 4 5 6 1 Fourier-Transformierte für eine Konstante f(x) Nicht Fourier-Transformierbar x • Das Definitionsintervall kann in endlich viele Intervalle unterteilt werden, in denen f(x)stetig und monoton ist. • An jeder Unstetigkeitsstelle xν sind die Grenzwerte zu beiden Seiten definiert • Das Integral konvergiert „gerade nicht mehr“ Abhilfe: Multiplikation mit einem konvergenzerzeugenden Faktor, z. B mit einer Gauß-Funktion

10. Gauß – Kurven mit Fläche „1“ und unterschiedlichen Halbwertsbreiten f(x) x • „2 σ“ = w =10, w =2

11. Fourier Transformierte der Gaußkurven F | h| • Transformierte zu w =10, w = 2 • Der Phasenwinkel ist konstant Null h

12. Übergang Gaußkurve zur δ Funktion und ihre Transformierte • Grenzwert der Gaußkurve mit Fläche 1 bei w 0 ist die δ-Funktion bei 0 • Gauß Kurve, die „immer schmaler und höher“ wird • Die Fourier-Transformierte der δ-Funktion ist eine Konstante

13. Zusammenfassung • Die komplexe Exponentialschreibweise ist zur Mitteilung von Betrag |F| und Winkel φ geeignet F = |F|·EXP(i·φ) • Die Eulersche Beziehung verknüpft cos und sin Funktionen mitEXP(i·φ) cos(φ) = ½ (EXP(i·φ) + EXP(-i·φ)) i·sin(φ) = ½ (EXP(i·φ) - EXP(-i·φ)) • Die Fourier-Transformation zerlegt eine beliebige Funktion f(x) in harmonische Anteile: • F(h) = ∫ f(x) EXP(2πihx) dx • f(x) = ∫ F(h) EXP(-2πihx) dh Grenzen der Integration jeweils von -∞ bis +∞

14. finis • Grenzwert der Gaußkurve mit Fläche 1 bei w 0 ist die δ-Funktion bei 0 • Gauß Kurve, die „immer schmaler und höher“ wird • Die Fourier-Transformierte der δ-Funktion bei 0 ist eine Konstante