第 四 章

1. 第 四 章 模 糊 集 合 之 運 算

2. 4.1 模糊集合運算之種類 • 三種模糊集合運算：聯集 (Union)、補集 (Complement)、及交集 (Intersection)。 • 標準運算: (4.1a) (4.1b) (4.1c) • 以上 A、B 均為定義在宇集合 X 上之模糊集合。

3. 模糊交集 (Fuzzy Intersection) 通稱為 t-基準 (t-norms)，而對模糊聯集 (Fuzzy Unions) 通稱 s-基準或 t-反基 (s-norms或 t-conorms)。 • 傳統明確集合中 之運算是唯一的。而在模糊集合中，以上運算是多樣的，這也是明確集合與模糊集合不同處之一。

4. 4.2 模糊補集 • 一個模糊集合 A 是定義在宇集合 X 上，而 A(x) 代表〝一個元素 屬於 A 之程度〞。 • 我們用符號 （或 ）代表模糊集合 A 的補集合， （或 ）可看作〝 x 屬於 之程度〞或〝 x不屬於 A 之程度〞。 • 為了運算方便， (4.2) 的限制是需要的。

5. 一般常用的模糊集合之補集有： (1)標準補集

6. (2) Sugeno 式：由日本人 Sugeno 提出： (4.4) 其中

7. (3) Yager 式：由美國人 Yager 提出： (4.5) 其中

8. 當 時，此 z 即為補集函數之〝平衡點(Equilibrium)〞。 • 如 為 (4.1a) 式的平衡點 。 • 在 (4.4) 式中，假設 時，則 為平衡點。

9. 平衡點之意義：平衡點在模糊集合 A 之歸屬度與在補集 之歸屬度是相等的。 • 定理 4.3：一個連續之補集函數，有唯一的平衡點。

10. 4.3 模糊集合之交集( t-基準; t-norms) • 兩個模糊集合 A及 B皆定義在宇集合 X上 (4.6) (4.6) 式稱為 A與 B之交集或 A 與 B 之 t -基準(t-norms)。 • (4.1b)只是 t-基準之一種。其它之 t-基準運算定義仍有許多。在此用 代表 p 與 q 之 t-基準或 ，其中 p 及 q 為某兩個模糊集合之歸屬函數 (如 A(x),B(x) )，因此 是必然的。

11. 常用的模糊交集運算： 標準交集 (Standard Intersection)： 代數乘積 (Algebraic Product)： 有界差異 (Bounded Difference)： (4.7) (4.8) (4.9)

12. 徹底交集 (Drastic Intersection)： 其中 (4.7)～(4.10) 之大小關係： • 其他學者提出的交集公式見 page 4-7 and 例4.3. (4.10)

13. 4.4 模糊聯集 (t-反基，s-norms 或 t-conorms) • 兩個模糊集合 A及 B皆定義在宇集合 X上 (4.15) 式稱為 A與 B之聯集或 A與 B之 t-反基或 s-基準。 • (4.1c)只是 s-基準之一種。其它之 s-基準運算定義仍有許多。 (4.15)

14. 常用的模糊聯集運算： 標準聯集 (Standard Union)： 代數加法 (Algebraic Sum)： 有界加法 (Bounded Sum)： (4.16) (4.17) (4.18)

15. 徹底聯集 (Drastic Union)： • 其中 (4.16)～(4.19) 之大小關係： • 其他學者提出的聯集公式見 page 4-9 and 例4.4. (4.19)

16. 4.5 混合運算 • 笛摩根定理： • 模糊集合之任何補集、t-基準及 s-基準不盡然滿足笛摩根定理，應改寫如： (4.25a) (4.25b) (4.24)

17. 滿足 (4.25a, b) 之補集、t-基準及 s-基準之定義，我們稱為對應三組 (Dual Triple)。 • 定理4.4：下列各組三種運算均滿足模糊集合之笛摩根定理(4.25a, b)。 (i) {(4.1a), (4.1b), (4.1c)} (ii) {(4.1a), (4.8), (4.17)} (iii) {(4.1a), (4.9), (4.18)} (iv) {(4.1a), (4.10), (4.19)}

18. 4.6 本章總結 • 模糊集合之三種運算： 補集 (Complement) 交集 (Intersection，又稱 t-基準 (t-norms)) 聯集 (Union，又稱 s-基準 (s-norms) 、t-反基 (t-conorms)) • 模糊集合運算與傳統集合論基本性質之矛盾。