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Mat_Insieme

Mat_Insieme. Lavoro di Gruppo a tre mani. Prodotti Notevoli. Tabella di Scomposizioni. Test Scomposizioni. a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia. I Prodotti Notevoli. Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza

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Presentation Transcript


  1. Mat_Insieme Lavoro di Gruppo a tre mani Prodotti Notevoli Tabella di Scomposizioni Test Scomposizioni a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia

  2. I Prodotti Notevoli • Quadrato di binomio • Cubo di binomio • Quadrato di polinomio • Potenza n-esima di binomio • Somma per differenza • Altri prodotti notevoli prof.ssa Giuseppa Chirico

  3. Quadrato di un Binomio • Cerchiamo la regola • La regola • Il significato geometrico • Esempi • Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

  4. Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b)2 = (a+b) (a+b) = = a2+ab+ab+b2 = = a2+2ab+b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  5. Quadrato di binomio: la regola ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 • Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: • il quadrato del 1° monomio • il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° • il quadrato del 2° monomio prof.ssa Giuseppa Chirico

  6. (a + b) (a + b)2 ab b2 a2 ab a b Quadrato di binomio: significato geometrico (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  7. Quadrato di binomio: esempi (2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2 (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2 (-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  8. (2a + 7)2 = (3a - 4b)2 = (-2x - 3y)2 = (a2 + 3b)2 = (5a - 3b)2 = (5a2 + 2b2)2 = (-3a3 + 2b2)2 = (2ab - 3b)2 = (7xy - 2x)2 = Quadrato di binomio: esercizi 4a2 + 28 a + 49 9a2 - 24 ab + 16b2 4x2 + 12 xy + 9y2 a4 + 6 a2b + 9b2 25a2 - 30ab + 9b2 25a4 + 20 a2b2 + 4b4 9a6 - 12 a3b2 + 4b4 4a2b2 - 12 ab2 + 9b2 49x2y2 - 28 x2y + 4x2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  9. Quadrato di binomio: esercizi prof.ssa Giuseppa Chirico

  10. Cubo di un Binomio • Cerchiamo la regola • La regola • Il significato geometrico • Esempi • Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

  11. Cubo di binomio: significato algebrico (a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = = (a2+2ab+b2) (a+b) = = a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3= = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  12. Cubo di binomio: la regola ( a + b ) 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 • Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: • il cubo del 1° monomio • il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° • il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° • il cubo del 2° monomio prof.ssa Giuseppa Chirico

  13. Cubo di binomio: significato geometrico (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  14. Cubo di binomio: esempi (2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3 (2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3 (-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3 (-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  15. (2a + 1)3 = (3a - b)3 = (-2x - 3y)3 = (a2 + 3b)3 = (a - 3b)3 = (a2 + 2b2)3 = (-3a3 + 2b2)3 = (2ab - 3b)3 = Cubo di binomio: esercizi 8a3+12a2+6a+1 27a3-27a2b+6ab2-b3 -8x3-36x2y-54xy2-27y3 a6+9a4 b+27a2b2+27b3 8a3-36a2 b+54ab2 -27b3 a6+6a4 b2+12a2b4+8b6 -27a9+54a6b2-36a3b4+8b6 8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  16. Cubo di binomio: esercizi prof.ssa Giuseppa Chirico

  17. Quadrato di un Polinomio • Cerchiamo la regola • La regola • Il significato geometrico • Esempi • Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

  18. Quadrato di polinomio: significato algebrico (a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 = = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc prof.ssa Giuseppa Chirico

  19. Quadrato di polinomio: la regola (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc • Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: • il quadrato di tutti i termini • il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono prof.ssa Giuseppa Chirico

  20. ac bc c2 ab b2 bc ab a2 ac a b c Quadrato di polinomio:significato geometrico (a+b+c)2 (a+b+c) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc prof.ssa Giuseppa Chirico

  21. Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c)2 = =(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c )2 = =(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc prof.ssa Giuseppa Chirico

  22. (2a + 2b + 7)2 = (3a - 4b - 2c)2 = (-2x - 3y + 1)2 = (a2 + 3b - c)2 = (5a + 2b + c)2 = (-3a3+2b2+1)2 = (2ab - 3b - 2)2 = (7xy - 2x - 1)2 = Quadrato di polinomio: esercizi 4a2+4b2+49+8ab+24a+24b 9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc 4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc 25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc 9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2 4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b 49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x prof.ssa Giuseppa Chirico

  23. Potenza n-esima di Binomio • Cerchiamo la regola • Triangolo di Tartaglia • La regola • Esempi • Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

  24. Potenza n-esima di binomio:cerchiamo una regola • (a+b)0 = 1 • (a+b)1 = a+b • (a+b)2 = a2+2ab+b2 • (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 • (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 • (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 • (a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 • lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini • i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali • in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn • i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia” prof.ssa Giuseppa Chirico

  25. Potenza n-esima di binomio:Triangolo di Tartaglia • (a+b)0 = 1 • (a+b)1 = 1 1 • (a+b)2 = 1 2 1 • (a+b)3 = 1 3 3 1 • (a+b)4 = 1 4 6 4 1 • (a+b)5 = 1 5 10 10 5 1 • (a+b)6 = 1 6 15 20 15 6 1 • In questo prospetto: • ogni riga inizia e termina con 1 • ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente prof.ssa Giuseppa Chirico

  26. Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn • La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. • In pratica, si procede nel seguente modo: • si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n) • si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia prof.ssa Giuseppa Chirico

  27. Potenza n-esima di binomio: esempi (a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 (2a+b)5 = =(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5 =32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2)+10(4a2)(b3)+5(2a)(b4)+b5=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 (3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 = =81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4= = 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4 prof.ssa Giuseppa Chirico

  28. (2a - b)4 = (a +b)7 = (a - b)7 = (a - b)6 = (a +2b)4 = (a - 2b)4 = (a +2b)5 = (-x - y)5 = Potenza n-esima di binomio: esercizi 16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4 a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7 a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7 a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6 a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4 a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4 a5 +10a4b+ 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5 - x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5 prof.ssa Giuseppa Chirico

  29. Somma per differenza • Cerchiamo la regola • La regola • Esempi • Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

  30. Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a2 - ab + ab - b2 = = a2 - b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  31. Somma per differenza: la regola ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico

  32. Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  33. (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a2 - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a2+2b2)(5a2 -2b2) = (-3a3+2b2)(-3a3-2b2)= (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x)= Somma per differenza: esercizi 4a2 - 49 9a2 - 16b2 4x2 - 9y2 a4 - 9b2 25a2 - 9b2 25a4 - 4b4 9a6 - 4b4 9b2 - 4a2 4x2 - 49x2y2 prof.ssa Giuseppa Chirico

  34. Somma per differenza: esercizi [(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1 prof.ssa Giuseppa Chirico

  35. Altri Prodotti Notevoli • Somma di cubi • Differenza di cubi • La regola • Esempi • Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

  36. Somma di Cubi: significato algebrico (a+b) (a2 - ab + b2 ) = = a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 = = a3 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  37. Differenza di Cubi: significato algebrico (a - b) (a2 + ab + b2 ) = = a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 = = a3 - b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  38. Somma o differenza di cubi: la regola (a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico

  39. Somma o Differenza di Cubi: esempi (2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3 (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3 (3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3 (3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  40. (2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)= (3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = (5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = (x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = (3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4)= (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2)= Somma o Differenza di Cubi: esercizi 8a3 + 343 27a3 - 64b3 8x3 - 27y3 a6 + 27b3 125a3 - 27b3 x6 + 8y6 27a9 + b6 8a2 + 27b2 x3 - 8y3 prof.ssa Giuseppa Chirico

  41. SCOMPOSIZIONI QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE.IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA. prof. Pier Angela Cerati

  42. 1, 2 e 3 1, 3 e 4 1, 2 e 4 2, 3 e 4 DOMANDA n.1Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali? prof.Pier Angela Cerati

  43. ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E’ CORRETTA! La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c). Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, quest’ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all’interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore evidenziato: prof.Pier Angela Cerati

  44. BRAVO!!!LA TUA RISPOSTA E’ CORRETTA!VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE prof. Pier Angela Cerati

  45. TABELLA DI SCOMPOSIZIONI Prof.Adelaide Boccia

  46. SE HO • Due termini • Tre termini • Quattro termini • Cinque termini • Sei termini Prof.Adelaide Boccia

  47. DUE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

  48. TRE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

  49. QUATTRO TERMINI Prof. Adelaide Boccia

  50. CINQUE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

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