1.3.1 正弦定理

1. 1.3.1正弦定理 中职数学（拓展模块）精品课程 青阳县职教中心数学组

2. 新课引入： 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角 三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，直角三角形ABC中， 设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 ， A 则 c 从而在直角三角形ABC中， b B C a (图1．1-2) 思考：那么对于任意的 三角形，以上关系式是否仍然成立？

3. C b a A c 新课探究： 如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据 任意角三角函数的定义，有CD= 则 从而 同理可得 当 ABC是钝角三角形时， 不妨设C为钝角，作BD⊥AC 延长线于D，则BD=csinA, BD=asin(1800-C)=asinC 即 。同理有 ，故 B (图1．1-3) D C • 从上面的研探过程，可得以下定理： B A

4. 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

5. 【例题评析】： 例1．在 中，已知B=300，C=1350,c=6，求b。 分析：这是已知三角形的两个角和一边，求其他边和角的问题， 可以直接应用正弦定理。 解：由于 所以

6. 例2．已知在 中，A=300，a=15,b=30,求B。分析：这是已知三角形的两边和其中一边对角，求其他边和角的问题，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角。解：由于 所以 由b>a,知B>A,故300<B<1800,所以B=450或B=1350。

7. 例3．已知 在中，A=450，a=30,b=15 ,求B。 由b<a,知B<A,故00<B<450, 所以B=300

8. 巩固新知： 1．已知 中，c=5,B=300,C=1350.求b. 2. 已知 中，a=10,B=300,C=1200,求c. 3. 已知 中，A=450,a=2,b= ,求B.

9. ， 课堂小结： （1）定理的表示形式： 或 ， （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

10. 作业 ： 1、选择题 （1）. 不解三角形，下列判断正确的是（ ） • a=7，b=14，A=30°有两解. • a=30，b=25，A=150 °，有一解. • C. a=6，b=9，A=45 °，有两解. • D. a=9，b=10，A=60 °，无解. （2）．在 中acosA=bcosB,则 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 （3）．在 中，已知a=5 ，c=10，∠A＝30o，则∠B等于（ ） A.105o B. 60o C. 15o D.105o或15o （4）．在ΔABC中，∠ A=450, a=2，b= ，则∠B=（ ） A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200

11. 2、填空题 （1）在ΔABC中，a=8,B=105°,C=15°, 则此三角形的最大边的长为。 （2）在△ABC中，已知BC＝12， A＝60°，B＝45°，则AC＝。 3.在ΔABC中， 求BC的长度。 4.在ΔABC中，∠A=450,∠B=600,a=2,求b。 5. 在ΔABC中，求a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值。