PREDNÁŠKA

1. PREDNÁŠKA RNDr. Ľudmila Grešová

2. Niektoré rozdelenia pravdepodobnosti pre D NP 1. Alternatívne (nulové – jednotkové) rozdelenie kde q =1 – p. Stredná hodnota Rozptyl

3. 2. Binomické rozdelenie viaže sa na postupnosť n nezávislých pokusov. NP X má binomické rozdelenie s parametrami n, p, keď a) jej možné hodnoty sú 0,1,2,3,...,n b) Stredná hodnota Rozptyl Smerodajná odchýlka

4. Poznámka.V praxi sa s binomickým rozdelením stretneme pri skúmaní kvality produkcie, keď nás zaujíma, aká časť výrobkov z celkového množstva bude dobrá, resp. bude mať kaz. Príklad 14. Pri výrobe súčiastky dochádza k vyrobeniu nepodarku s pravdepodobnosťou 0,04. Nech NP X je počet nepodarkov medzi piatimi náhodne vybranými súčiastkami. Určte a) pravdepodobnostnú funkciu tejto NP a jej graf, b) E(X), D(X), σ(X). Poznámka. S binomickou NP sa stretávame aj pri náhodnomvýbere s vrátením.

5. 3.Hypergeometrické rozdelenie ( výber bez vrátenia) Označme M – počet prvkov v základnom súbore N – počet vybraných prvkov K – počet prvkov so sledovanou vlastnosťou ( ostatných M – K túto vlastnosť nemá) x – počet prvkov so sledovanou vlastnosťou medzi vybranými prvkami ( ). NP X – počet prvkov so sledovanou vlastnosťou medzi N vybranými (nezáleží na tom či prvky vyberáme postupne alebo naraz) Pravdepodobnostná funkcia

6. Pravdepodobnostná funkcia Pre strednú hodnotu a rozptyl platí

7. 4. Poissonovo rozdelenie NP X má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom , keď a) jej možné hodnoty sú 0,1,2,3,...,n,... b) Stredná hodnota Rozptyl Smerodajná odchýlka

8. Poznámka. S týmto rozdelením sa najčastejšie stretávame pri sledovaní počtu výskytov nejakého javu A v priebehu konkrétneho časového úseku napr. počet telefónnych hovorov počas hodiny, počet predmetov nájdených a odovzdaných denne v obchodnom dome, počet narodených dvojčiat, trojčiat,...vo veľkom počte manželstiev,... počet častíc vyslaných rádioaktívnou látkou počas určitého časového intervalu, atď. Predpokladá sa, že - jav A je výsledkom opakovaného systému nezávislých pokusov - priemerný počet výskytov javu A je priamo úmerný dĺžke časového úseku

9. Príklad 14. Internetovskú stránku navštívi za sledované obdobie počas jednej hodiny v priemere 30 záujemcov (predpokladáme, že ich návštevy sú nezávislé). Určte pravdepodobnosť toho, že v priebehu 4 minút navštívi túto stránku: a) jeden návštevník, b) aspoň jeden návštevník, c) nie menej než traja a menej ako jedenásti návštevníci.

10. Aproximácia binomického rozdelenia Poissonovým rozdelením Dá sa dokázať, že pre n → a p → 0 je možné binomické rozdelenie s parametrami n,p aproximovať Poissonovým rozdelením s parametrom λ = np, t. j.

11. Príklad 15. V priebehu jedného roka prevádzky výrobnej linky došlo k 4 poruchám. Aká je pravdepodobnosť, že a) v nasledujúcich 100 dňoch dôjde k jednej poruche, b) v priebehu celého budúceho mesiaca nedôjde k žiadnej poruche

12. pre SNP 1.Rovnomerné rozdelenie pravdepodobnosti NP X má rovnomerné rozdelenie na intervale (nemusí byť uzavretý), keď pre jej hustotu platí Distribučná funkcia

13. Používa sa pre S NP s rovnakou pravdepodobnosťou výskytu v určitom intervale. Napr. - chyby pri zaokrúhľovaní čísel - doby čakania na uskutočnenie javu opakujúceho sa v pravidelných časových intervaloch ( doba čakania cestujúceho na električku, trolejbus,...) Stredná hodnota Rozptyl Medián

14. Príklad 16. Cestujúci môže prísť na zástavku električky v ľubovoľnom okamihu. Určte a) dĺžku intervalu medzi nasledujúcimi spojmi, ak pravdepodobnosť toho, že cestujúci bude čakať aspoň štyri minúty je 0,6; b) E(X), D(X), c) distribučnú funkciu doby čakania na spoj, d) pravdepodobnosť toho, že doba čakania bude kratšia ako dve minúty.

15. 2.Exponenciálne rozdelenie NP X má exponenciálne rozdelenie s parametrom , keď Distribučná funkcia NP X

16. Stredná hodnota Rozptyl Smerodajná odchýlka Poznámka: Exponenciálne rozdelenie má NP, ktorou je napr. - doba životnosti zariadení, v ktorých dochádza k poruche zo zcela náhodných (vonkajších) príčin, nie zákonite v dôsledku mechanického opotrebenia, únavy materiálu; - doba čakania na udalosť, - doba potrebná na opravu pokazenej súčiastky, - doba obsluhy,...

17. Príklad 17. Doba životnosti výrobku má exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou 200 hodín. Určte pravdepodobnosť, že a) výrobok bude funkčný aspoň 300 hodín b) nebude funkčný dlhšie ako je jeho priemerná doba životnosti. c) Určte maximálnu záručnú dobu z, ktorú chce poskytnúť jeho výrobca, ak pripúšťa maximálne 5 % reklamačných výrobkov.

18. 3. Normálne ( Gaussovo) rozdelenie NP X má normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami m, σ> 0, keď Distribučná funkcia

19. Graf hustoty normálneho rozdelenia sa nazýva krivka rozdelenia. Má symetrický, zvonovitý tvar. Je tým štíhlejšia, čím menšie je σ; vrchol má v bode m. Dá sa dokázať, že E(X) = m, D(X) = , σ(X) = σ Normovaním NP Xdostaneme NP so strednou hodnotou E(Y) = 0, a smerodajnou odchýlkou σ(Y) = 1.

20. Pre hustotu NP Y platí a jej distribučná funkcia je

21. Ak v integrále zavedieme substitúciu dostaneme vzťah medzi funkciou F a funkciou . Platí a teda

22. Ak interval je symetrický vzhľadom na strednú hodnotu m, potom Špeciálne pre je Vidíme, že 99,73 % všetkých hodnôt NP, t.j. prakticky všetky, leží v intervale ( m - 3σ, m + 3σ ).

23. Poznámka: Normálne rozdelenie má NP, napr. - dĺžka výrobkov pri hromadnej výrobe, - výška alebo váha jednotlivcov v nejakej skupine osôb, - chyby meraní (spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin ), - rozloženie zásahov okolo stredu cieľa pri opakovanej streľbe,.. Príklad 18. Hmotnosť vyrábanéhozávažia mánormálne rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou 10 g, pričom výrobca uvádza jej smerodajnú odchýlku 0,02 g. Určte pravdepodobnosť toho, že náhodne kúpené závažie bude mať skutočnú hmotnosť a) väčšiu než 10,03 g b) menšiu ako 9,99 g c) aspoň 10 g a nie viac ako 10,05 g.

24. Príklad 19. Meranie voltmetrom je zaťažené systematickou chybou 5 V a náhodné chyby majú normálne rozdelenie pravdepodobnosti so smerodajnou odchýlkou 2 V. Vykonáme na ňom jedno meranie. S akou pravdepodobnosťou sa bude líšiť chyba nameranej hodnoty o 1 V od a) strednej hodnoty očakávanej chyby b) skutočnej meranej hodnoty c) Aká môže byť s pravdepodobnosťou 0,99 maximálna odchýlka chyby merania od jej strednej hodnoty.