Тригонометрические уравнения

1. Тригонометрические уравнения

2. Уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими. Простейшие тригонометрические уравнения c o s x = a , X = arccosa+2 s i n x = a, X= t g x = a x = a r c t g а+ c t g x = a x = a r c c t g а+

3. a r c s i n a =t, s i n t =a, a r c c o s a = t, c o s t = a, a r c t g a = t, t g t = a, a r c c t g a = t, c t g t= a,

4. Какие из выражений не имеют смысла? a r c s i n a r c c o s a r c t g a r c s i n

5. Решите уравнение • c o s x =- 0,3 • s i n x = - 0,3 • s i n x = 2a-1 x= ±(π-arccos0,3)+2πn x= (-1)n arcsin0,3+πn

6. Решение: 2.Если 2а-1<-1 или 2а-1>1 (a<0 и а>1) – решений нет 1.Если, т.е.0≤а≤1 –уравнение имеет решение х=(-1)n a r c s i n (2a-1)+π n,nЄZ Ответ: x=(-1)narcsin(2a-1)+πn , nЄZ при 0≤а≤1; решений нет при а<0 и а>1

7. Sin (2x -)= 1) -1 ≤ ≤ 1 2) 1. + 1 ≥ 0 2. - 1 ≤ 0 ≥ - 1 ≥ 0 ≤ 0 ≤ 1 ≥ 0 ≤ 0 f (a) = a + 1 > 0 f (a) = 0 a > - 1 a = 0, a ≠ -1 3. a ≥ 0 3) 2x - = (-1)n arcsi n + Пn 2x = a r c s i n + + Пn x =(-1)n a r c s i n + + Пn/2 Ответ: при а ≥ 0x = a r c s i n + + Пn/2, n Є Z.

8. Основные методы решения тригонометрических уравнений • Метод замены переменной • Метод разложения на множители • Однородные тригонометрические уравнения

9. Лейбниц «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.»

10. Какими методами решаются следующие уравнения ? • c o s² x – 5 c o s x + 4 = 0, • s i n² x – 2 s i n x c o s x = 3 c o s² x • s i n² x - 3 s i n x =0 • s i n 2x = c o s 2x • s i n² 2x + s i n² 3x + s i n² 4x =0

11. Алгоритм решения уравнения a s i n²x+b s i n x c o s x + c c o s²x =0 • Посмотреть есть ли в уравнении член asin²x • Если член asin²x в уравнении содержится, то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos²x и последующим введением новой переменной z = t g x • Если член asin²x в уравнении не содержится, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносится c o s x.

12. Вариант 1 1.3 s i n² 2x +2sin2x-1=0 2.4s i n² x +sinxcosx-3cos²x=0 Вариант 2 1.6 s i n² 2x - s i n 2x-1=0 2. s i n² x -2sinxcosx-3cos²x=0 Решите самостоятельно Дополнительное задание:

13. Проверь себя! 1.Пусть sin2x=t тогда 6t²-t-1=0, • Пусть s i n 2x=t,тогда 3t²-2t-1=0, t = -1,t = s i n 2x= -1, s i n 2x= x= - x= 2.Разделим на cos²x,получим 4tg²x+tgx-3=0, откуда получим t g x= -1 или t g x= Ответ: х = - , х = arctg+ 2. Разделим на cos²x,получим t g2x -2t g x-3=0, t g x=3 или t g x = -1 x=a r c t g 3+π n или x= t g2x -2t g x-3=0, t g x=3 или t g x = -1 x=a r c t g 3+π n или x= Ответ : а r c t g 3+π n или x=

14. I 3ctg x-5I-=0 • I 3ctg x-5I= • Так как корень всегда положителен, имеем право возвести выражение в квадрат. • - =0 • (3c t g x -5 –c t g x-2)•(3c t g x-5+c t g x+2)=0 • (2c t g x-7)•(4c t g x-3)=0 • 2c t g x-7=0 или 4c t g x-3=0 • 2c t g x=7 4c t g x=3 • c t g x= c t g x= • x=a r c c t g + пk x=a r c c t g + пk, • где «k» принадлежит множеству целых чисел.

15. Домашнее задание: по группам (профильный задачник) I группа: №23.31(а) II группа: №23.38(б) Общее задание: №23.15,23.17,23.18(б)

16. Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. А. Энштейн

17. спасибо за урок, Желаю успехов!